Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
7. hét pénteki előadás
Pontrendszerek dinamikája
$$m_i \ddot{\bf r}_i=\sum_{j\ne i}{\bf F}_{ij}+{\bf F}_{i}\quad (i,j=1\dots N)$$
Itt ${\bf F}_{ij}$ a $j$-edik ponttömeg által az $i$-edikre kifejtett erő,
${\bf F}_{i}$ pedig a külső erőtér által az $i$-edik ponttömegre kifejtett erő.
$i$-re összegezve:
$$\sum_i m_i \ddot{\bf r}_i=\sum_i {\bf F}_{i}$$
ugyanis
$
\begin{eqnarray}
\sum_i \sum_{j\ne i}{\bf F}_{ij}&=&
\sum_i \sum_{j< i}{\bf F}_{ij}+\sum_i\sum_{j>
i}{\bf F}_{ij}=\sum_i \sum_{j< i}{\bf F}_{ij}+\sum_j \sum_{i< j}{\bf
F}_{ij}\\
&=&\sum_i\sum_{j< i}{\bf F}_{ij}+\sum_i \sum_{j< i}{\bf F}_{ji}
=\sum_i \sum_{j< i}\left({\bf F}_{ij}+{\bf F}_{ji}\right)=0
\end{eqnarray}
$
Newton III. törvénye szerint (hatás-ellenhatás).
Bevezetjük a tömegközéppont fogalmát az
$${\bf R}=\frac{\sum_i m_i {\bf r}_i}{\sum_i m_i}$$
definícióval. Legyen továbbá a pontrendszer együttes tömege
$$M=\sum_i m_i$$
Ekkor
$$M\ddot{\bf R}=\sum_i {\bf F}_{i}$$
A tömegközéppont gyorsulását tehát a pontrendszerre kívülről ható erők eredője
határozza meg.$\Rightarrow$ Külső erők hiányában a tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez.
A pontrendszer teljes impulzusa
$${\bf P}=\sum_i m_i \dot{\bf r}_i=M\dot{\bf R}$$
Ezzel a dinamikai egyenlet
$$\dot{\bf P}=\sum_i {\bf F}_{i}$$
alakban is felírható. $\Rightarrow$ Külső erők hiányában az összimpulzus
megmaradó mennyiség.
A pontrendszer teljes impulzusmomentuma
$${\bf N}=\sum_i {\bf r}_i\times m_i \dot{\bf r}_i$$
Ennek időderiváltja
$$\frac{d{\bf N}}{dt}\equiv \dot{\bf N}=\underbrace{\sum_i \dot{\bf r}_i\times m_i \dot{\bf
r}_i}_{=0}+\sum_i {\bf r}_i\times m_i \ddot{\bf
r}_i=\sum_i {\bf r}_i\times {\bf F}_{i}$$
feltéve, hogy
a rendszer tagjai között csak centrális erők hatnak, ekkor ugyanis
$
\begin{eqnarray}
\sum_i {\bf r}_i\times\sum_{j\ne i}{\bf F}_{ij}&=&
\sum_i \sum_{j< i}{\bf r}_i\times{\bf F}_{ij}+\sum_i\sum_{j>
i}{\bf r}_i\times{\bf F}_{ij}=\sum_i \sum_{j< i}{\bf r}_i\times{\bf F}_{ij}+\sum_j \sum_{i< j}{\bf r}_i\times{\bf
F}_{ij}\\
&=&\sum_i\sum_{j< i}{\bf r}_i\times{\bf F}_{ij}+\sum_i \sum_{j< i}{\bf r}_j\times{\bf F}_{ji}
=\sum_i \sum_{j< i}\left({\bf r}_i-{\bf r}_j\right)\times{\bf F}_{ij}=0
\end{eqnarray}
$
$\Rightarrow$ Külső forgatónyomaték hiányában a teljes impulzusmomentum
megmaradó mennyiség.
Írjuk ${\bf r}_i$-t ${\bf R}+{\bf r}_i'$ alakba, ahol ${\bf r}_i'$ a
tömegközépponttól mért helyvektor! Ezzel
$${\bf N}=\sum_i ({\bf R}+{\bf r}_i')\times m_i (\dot{\bf R}+\dot{\bf
r}_i')=M{\bf R}\times \dot{\bf R}+\underbrace{\sum_i {\bf r}_i'\times m_i \dot{\bf
r}_i'}_{=N'}$$
Továbbá
$$\dot{\bf N}=\sum_i ({\bf R}+{\bf r}_i')\times {\bf F}_{i}={\bf R}\times
\sum_i {\bf F}_{i}+\sum_i {\bf r}_i'\times {\bf F}_{i}$$
$\Rightarrow$
$$\dot{\bf N'}=\sum_i {\bf r}_i'\times {\bf F}_{i}$$
Vagyis az impulzusmomentum mozgásegyenlete a(z általában gyorsuló mozgást
végző) tömegközéppontra vonatkozóan is teljesül.
Műkorcsolyázó piruettje
(A forgás sebessége megnő, hogy az
impulzusmomentum állandó maradhasson)
A macska talpraesik. (Az impulzusmomentum
megmaradása ellenére a pontrendszer térbeli szöghelyzete még nulla impulzusmomentum
esetében is változhat belső erők hatására.)
Konzervatív pontrendszer energiája:
$$E=\sum_i\frac{1}{2}m_i \dot{\bf r}_i^2+V({\bf r}_1,\dots {\bf r}_N)$$
A potenciál egy tipikus alakja:
$$V({\bf r}_1,\dots {\bf r}_N)=\sum_i\sum_{j< i} V_{ij}(r_{ij})+\sum_i
V_i({\bf r}_i)=\frac{1}{2}\sum_i\sum_{j\ne i} V_{ij}(r_{ij})+\sum_i
V_i({\bf r}_i)$$
Itt $r_{ij}=\left|{\bf r}_i-{\bf r}_j\right|$, továbbá $V_{ij}=V_{ji}$ az $i$-edik
és $j$-edik ponttömegből
álló pár potenciális
energiája, $V_i$ pedig
az $i$-edik ponttömeg
potenciális energiája a
külső erőtérben.
Lagrange-függvény:
$$L=\sum_i\frac{1}{2}m_i \dot{\bf r}_i^2-V({\bf r}_1,\dots {\bf r}_N)$$
ill. speciálisan
$$L=\sum_i\frac{1}{2}m_i \dot{\bf r}_i^2-\frac{1}{2}\sum_i\sum_{j\ne i} V_{ij}(r_{ij})-\sum_i
V_i({\bf r}_i)$$
Euler-Lagrange-mozgásegyenlet:
$$m_i \ddot{\bf r}_i=-\frac{\partial V}{\partial {\bf r}_i}$$
ill. speciálisan
$$m_i \ddot{\bf r}_i=-\sum_{j\ne i} V_{ij}'\frac{{\bf r}_{ij}}{r_{ij}}-
\frac{\partial V_{i} }{\partial {\bf
r}_{i}}$$
Tehát az erők
$${\bf F}_{ij}=-\frac{\partial V_{ij}}{\partial {\bf
r}_{i}}=-
V_{ij}'\frac{{\bf
r}_{ij}}{r_{ij}}$$
és
$${\bf F}_{i}=-\frac{\partial V_{i} }{\partial {\bf
r}_{i}}$$
Az energia időderiváltja:
$$\dot{E}=\sum_i m_i \dot{\bf r}_i\ddot{\bf r}_i+\sum_i \dot{\bf
r}_i\frac{\partial V}{\partial {\bf r}_i}=\sum_i \dot{\bf r}_i\left(m_i\ddot{\bf r}_i+\frac{\partial V}{\partial {\bf r}_i}\right)=0 $$
A konzervatív pontrendszer mechanikai energiája megmarad.
Alkalmazás kettőscsillag mozgására:
$
\begin{eqnarray}
m_1 \ddot{\bf r}_1=-G\frac{m_1m_2}{r_{12}^3}\left({\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}\right)\\
m_2 \ddot{\bf r}_2=-G\frac{m_1m_2}{r_{12}^3}\left({\bf r}_{2}-{\bf r}_{1}\right)
\end{eqnarray}
$
A két egyenlet összege a tömegközéppont mozgásegyenletét adja:
$$M\ddot{\bf R}=0$$
ahol most
$$M=m_1+m_2$$
és
$${\bf R}=\frac{m_1{\bf r}_1+m_2{\bf r}_2}{m_1+m_2}$$
Vezessük be a két csillag ${\bf r}_{12}={\bf r}_{1}-{\bf r}_{2}$ relatív
helyvektorát! Erre a mozgásegyenletekből azt kapjuk, hogy
$$\ddot{\bf r}_{12}=-G\frac{m_1+m_2}{r_{12}^3}{\bf r}_{12}=-G\frac{m_1+m_2}{m_1m_2}\frac{m_1m_2}{r_{12}^3}{\bf r}_{12}$$
vagy másképpen:
$$\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\ddot{\bf r}_{12}=-G\frac{m_1m_2}{r_{12}^3}{\bf
r}_{12}$$
A relatív mozgás egyenletében tehát a
$$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}=\frac{1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}$$
redukált tömeg lép föl. Formálisan tehát egy $\mu$ tömegű ponttömeg mozog az
eredeti $-Gm_1m_2/r_{12}$ centrális potenciálban. A megmaradó impulzusmomentum
$${\bf N}=\mu {\bf r}_{12}\times\dot{\bf r}_{12}$$
Ez éppen a tömegközéppontra vonatkozó teljes impulzusmomentummal egyenlő.
Ha ugyanis ${\bf R}=0$ (tömegközépponti rendszer), akkor
$
\begin{eqnarray}
{\bf r}_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}{\bf r}_{12}\\
{\bf r}_2=-\frac{m_1}{m_1+m_2}{\bf r}_{12}
\end{eqnarray}
$
és a kettőscsillag-rendszer teljes impulzusmomentuma
$${\bf N}={\bf r}_1\times m_1\dot{\bf r}_1+{\bf r}_2\times m_2\dot{\bf r}_2=
\left[\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)^2m_1+\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2m_2\right]{\bf r}_{12}\times\dot{\bf r}_{12}=\mu {\bf r}_{12}\times\dot{\bf r}_{12}$$
A megmaradó mechanikai energia:
$$E=\frac{1}{2}m_1\dot{\bf r}_1^2+\frac{1}{2}m_2\dot{\bf
r}_2^2-G\frac{m_1m_2}{r_{12}}=\frac{1}{2}\left[m_1\left(\frac{m_2}{m_1+m_2}\right)^2+m_2\left(\frac{m_1}{m_1+m_2}\right)^2\right]\dot{\bf
r}_{12}^2-G\frac{m_1m_2}{r_{12}}=\frac{1}{2}\mu\dot{\bf
r}_{12}^2-G\frac{m_1m_2}{r_{12}}$$
amennyiben a választott koordinátarendszerben a tömegközéppont nyugalomban van.
A kettőscsillag-rendszer tagjai a tömegközéppont körül geometriailag hasonló
ellipszispályákon mozognak. Kepler törvényei ezzel a módosítással érvényben
maradnak.
Az ellipszispályák paramétereinek kiszámítása.
$$\epsilon=\sqrt {1+\frac{2E}{\mu}\left(\frac{N}{Gm_1m_2}\right)^2}$$
$$p_1=\frac{N^2}{Gm_1^2m_2}$$
$$a_1=\frac{p_1}{1-\epsilon^2}=\frac{Gm_2\mu}{2|E|}$$
$$b_1=\frac{p_1}{\sqrt{1-\epsilon^2}}=\frac{N}{m_1}\sqrt{\frac{\mu}{2|E|}}$$
$$p_2=\frac{N^2}{Gm_2^2m_1}$$
$$a_2=\frac{p_2}{1-\epsilon^2}=\frac{Gm_1\mu}{2|E|}$$
$$b_2=\frac{p_2}{\sqrt{1-\epsilon^2}}=\frac{N}{m_2}\sqrt{\frac{\mu}{2|E|}}$$
Periódusidő:
$$T=\pi Gm_1m_2\sqrt{\frac{\mu}{2|E|^3}}=2\pi\frac{(a_1+a_2)^{3/2}}{\sqrt{G(m_1+m_2)}}$$
Ütközések
bene@arpad.elte.hu