Elméleti fizika I.
Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
10. hét keddi előadás
Pontrendszerek dinamikája
Ismétlés:
Az egyes ponttömegek mozgásegyenletei:
$$m_i \ddot{\bf r}_i=\sum_{j\ne i}{\bf F}_{ij}+{\bf F}_{i}\quad (i,j=1\dots N)$$
A pontrendszer tömegközéppontja
$${\bf R}=\frac{\sum_i m_i {\bf r}_i}{\sum_i m_i}$$
A pontrendszer teljes tömege
$$M=\sum_i m_i$$
A tömegközéppont mozgásegyenlete
$$M\ddot{\bf R}=\sum_i {\bf F}_{i}$$
A pontrendszer teljes impulzusmomentuma
$${\bf N}=\sum_i {\bf r}_i\times m_i \dot{\bf r}_i$$
Az impulzusmomentum mozgásegyenlete
$$\dot{\bf N}=\sum_i {\bf r}_i\times {\bf F}_{i}$$
(a tömegközéppontra vonatkozóan is érvényes!)
Ütközések
Rugalmas és rugalmatlan ütközések: rugalmas ütközéskor az ütköző tömegpontok
együttes mechanikai energiája megmarad, rugalmatlan ütközéskor a mechanikai
energia egy része más energiaformákká alakul át (pl. belső energiává -"hővé"-,
rugalmas energiává, egyéb deformációval kapcsolatos energiává).
Két ponttömeg rugalmas ütközése:
Impluzusmegmaradás:
$${\bf p}_1+{\bf p}_2={\bf P}=const.$$
Energiamegmaradás:
$$E=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}=const.$$
Áttérés tömegközépponti rendszerre (vesszős mennyiségek):
$${\bf r}={\bf r}'+{\bf V}t$$
Itt ${\bf V}$ a tömegközéppont sebessége az eredetileg használt inerciarendszerben.
Sebességek transzformációja:
$\begin{eqnarray}
{\bf v}_1&=&{\bf v}_1'+{\bf V}\\
{\bf v}_2&=&{\bf v}_2'+{\bf V}\end{eqnarray}$
Impulzusok transzformációja:
$\begin{eqnarray}
{\bf p}_1&=&{\bf p}_1'+m_1{\bf V}\\
{\bf p}_2&=&{\bf p}_2'+m_2{\bf V}\end{eqnarray}$
Összeadva:
$${\bf P}={\bf p}_1'+{\bf p}_2'+(m_1+m_2){\bf V}$$
Tömegközépponti rendszerben tehát
$$ {\bf p}_1'+{\bf p}_2'=0$$
vagy
$${\bf p}_1'=-{\bf p}_2'=\mu({\bf v}_1-{\bf v}_2)$$
Itt $\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)$ a redukált tömeg.
Energia:
$$E=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}=\frac{p_1'^2}{2m_1}+\frac{p_2'^2}{2m_2}+\frac{m_1+m_2}{2}V^2=\frac{p_1'^2}{2\mu}+\frac{P^2}{2(m_1+m_2)}$$
Az energia és impulzusmegmaradásból tehát következik, hogy
$$|{\bf p}_1'|=|\tilde{\bf p}_1'|=\mu|{\bf v}_1-{\bf v}_2|=\mu|\tilde{\bf v}_1-\tilde{\bf v}_2|=const.$$
(A hullámvonal az ütközés utáni mennyiségeket jelöli.)
Ez azt jelenti, hogy rugalmas ütközés következtében tömegközépponti rendszerben az
impulzusok iránya megváltozik, de a nagyságuk állandó marad. Ugyanígy a
relatív sebesség nagysága is állandó. (De: az ütközés folyamata során, azalatt a
rövid idő alatt, amikor a
potenciális energia nem hanyagolható el, akkor az impulzusok és a relatív
sebességek nagysága nem állandó.)
Ütközés utáni sebességek "laboratóriumi rendszerben":
$\begin{eqnarray}
\tilde{\bf v}_1&=&\tilde{\bf v}_1'+{\bf V}=\frac{m_2|{\bf v}_1-{\bf v}_2|\tilde{\bf n}+m_1{\bf v}_1+m_2{\bf v}_2}{m_1+m_2}\\
\tilde{\bf v}_2&=&\tilde{\bf v}_2'+{\bf V}=\frac{-m_1|{\bf v}_1-{\bf v}_2|\tilde{\bf n}+m_1{\bf v}_1+m_2{\bf v}_2}{m_1+m_2}\end{eqnarray}$
Itt $\tilde{\bf n}$ az ütközés utáni relatív sebesség iránya.
Speciális eset: centrális ütközés. Ekkor a sebességek mind párhuzamosak, a
közös irányra vett vetületük pedig
$\begin{eqnarray}
\tilde{ v}_1&=&\frac{-m_2({ v}_1-{ v}_2)+m_1{v}_1+m_2{ v}_2}{m_1+m_2}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2\\
\tilde{ v}_2&=&\frac{m_1({ v}_1-{ v}_2)+m_1{v}_1+m_2{v}_2}{m_1+m_2}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2\end{eqnarray}$
Merev testek dinamikája I.
Legyen $\bf R$ a tömegközéppont helyvektora, $\bf r$ pedig a test egy pontjának a
tömegközépponttól mért helyvektora. Ekkor a test adott pontjának sebessége:
$${\bf v}=\dot{\bf R}+\vec{\bf \omega}\times {\bf r}$$
A tömegközéppontra vonatkoztatott impulzusmomentum:
$${\bf N}=\int dm \;{\bf r}\times {\bf v}=\underbrace{\left(\int dm \;{\bf
r}\right)}_{=0}\times \dot{\bf R}+\int dm \;{\bf r}\times\left(\vec{\bf
\omega}\times {\bf r}\right)$$
Mivel ${\bf r}\times\left(\vec{\bf
\omega}\times {\bf r}\right)={\bf r}^2\vec{\bf \omega}-({\bf r}\cdot\vec{\bf \omega}){\bf r}$,
$${\bf N}={\bf \Theta}\vec{\bf \omega}$$
$${\bf \Theta}_{ij}=\int dm\; \left(r^2\delta_{ij}-r_ir_j\right)$$
Tehetetlenségi nyomaték (másodrendű tenzor).
A tehetetlenségi tenzor transzformációja a koordinátarendszer elforgatásakor,
fő tehetetlenségi tengelyek, fő tehetetlenségi nyomatékok.
Mozgási energia:
$$E=\frac{1}{2}\int dm \;{\bf v}^2=\frac{1}{2}\underbrace{\left(\int dm
\right)}_{=M}\;\dot{\bf R}^2+\underbrace{\int dm \;\left(\vec{\bf \omega}\times {\bf r}\right)}_{=0}\dot{\bf
R}+\frac{1}{2}\int dm \;\left(\vec{\bf \omega}\times {\bf r}\right)^2$$
Mivel
$$\left(\vec{\bf \omega}\times {\bf r}\right)^2=\left(\vec{\bf \omega}\times {\bf
r}\right)\cdot\left(\vec{\bf \omega}\times {\bf r}\right)=\vec{\bf \omega}\cdot \left[{\bf
r}\times \left(\vec{\bf \omega}\times {\bf r}\right)\right]$$
$$E=\frac{1}{2}M\dot{\bf R}^2+\frac{1}{2}\vec{\bf \omega}\cdot {\bf \Theta}\vec{\bf \omega}$$
Példa: ellipszoid tehetetlenségi nyomatéka
Ellipszoid:
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$
Tehetetlenségi nyomaték:
$${\bf {\bf \Theta}}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{m}{5}\left(b^2+c^2\right)&0&0\\0&\frac{m}{5}\left(a^2+c^2\right)&0\\0&0&\frac{m}{5}\left(a^2+b^2\right)\end{array}\right)$$
Pillanatnyi forgástengely:
Minden pillanatban található egy olyan, az $\bf \omega$ szögsebességvektorral
párhuzamos, az adott koordinátarendszerben rögzített egyenes úgy, hogy
a merev test
minden pontjának sebessége az egyenes körüli körmozgás és az egyenessel párhuzamos haladó mozgás
összege. Matematikailag:
a pillanatnyi forgástengely egyenlete
$$ {\bf r'}={\bf r_0}+\vec{\bf \omega}s$$
ahol $\bf r_0$ merőleges az $\vec{\bf \omega}$ vektorra és $s$ paraméterezi az
egyenest, az $\bf r'$ és $\bf r_0$ vektorok a tömegközépponthoz viszonyított
pozíciót jelentik.
A merev test egy pontjának sebessége:
$\begin{eqnarray}{\bf v}&=&\dot{\bf R}+\vec{\bf \omega}\times {\bf r'}+\vec{\bf \omega}\times
\left({\bf r}-{\bf r'}\right)\\
&=&\underbrace{\dot{\bf R}+\vec{\bf \omega}\times {\bf
r_0}}_{A\; pillanatnyi\; forgástengelyen\; levő\; pontok\; sebessége}+\underbrace{\vec{\bf
\omega}\times \left({\bf r}-{\bf r_0}\right)}_{A\; pillanatnyi\; forgástengely\;
körüli\; forgás\; kerületi\; sebessége}\end{eqnarray}$
Legyen
$${\bf r_0}=\frac{\vec{\bf \omega}\times \dot{\bf R}}{\omega^2}\;,$$
ekkor $\dot{\bf R}+\vec{\bf \omega}\times {\bf r_0}$ párhuzamos a pillanatnyi
forgástengellyel:
$$\vec{\bf \omega}\times\left(\dot{\bf R}+\vec{\bf \omega}\times {\bf r_0}\right)=0\;.$$
Példa: henger gördülésekor a pillanatnyi forgástengely a talajjal
érintkező alkotó.
Steiner-tétel: a tehetetlenségi nyomaték kiszámítása a tömegközéppont
helyett a ${\bf d}$ helyvektorú pontra
$${\bf \Theta}_{ij}'=\int dm\; \left(({\bf r}-{\bf
d})^2\delta_{ij}-(r_i-d_i)(r_j-d_j)\right)={\bf \Theta}_{ij} +M\left({\bf d}^2\delta_{ij}-d_id_j\right)$$
ahol az első tag a
tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték.
Mozgásegyenletek
$$M\ddot{\bf R}=\sum_i {\bf F}_{i}$$
$$\dot{\bf N}=\sum_i {\bf r}_i\times {\bf F}_{i}$$
Itt az utóbbi egyenlet érvényes akkor is, ha $\bf N$ és $\bf r$ az adott
inerciarendszer origójára vonatkozó impulzusmomentum és
helyvektor, és akkor is, ha ezek a tömegközéppontra vonatkozó mennyiségek.
Forgás rögzített tengely körül:
csapágynyomatékok
A rögzített tengely (alkalmas csapágyazással) olyan kényszert jelent, ami a
szögsebességvektor irányát meghatározza. Legyen a tengelyirányú egységvektor
$\bf n$. Ekkor $\vec{\bf \omega}=\omega{\bf n}$. A mozgásegyenlet $\bf n$ irányú komponense
$$ {\bf n}\cdot \dot{\bf N}={\bf n}\cdot {\bf M}$$
Itt $\bf M$ a külső erők forgatónyomatéka (a kényszereket is beleértve) a
tengely egy pontjára vonatkozóan.
A baloldalt így alakíthatjuk át:
$${\bf n}\cdot \dot{\bf N}={\bf n}\cdot \frac{d}{dt}\left({\bf \Theta}\vec{\bf
\omega}\right)
=\omega \underbrace{\frac{d}{dt}\left({\bf n}\cdot {\bf \Theta}{\bf n}\right)}_{=0}+\left({\bf n}\cdot {\bf \Theta}{\bf n}\right) \dot{\omega}$$
A ${ \Theta}_n={\bf n}\cdot {\bf \Theta}{\bf n}$ szám az $\bf n$ irányú tengelyre
vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték. Az impulzusmomentum mozgásegyenletének $\bf n$ irányú komponense
tehát
$${ \Theta}_n\;\dot{\omega}={\bf n}\cdot {\bf M}$$
A kényszerek a jobboldalhoz itt nem adnak járulékot.
A mozgásegyenlet tengelyre merőleges komponense:
$$ \dot{\bf N}-\left({\bf n}\cdot \dot{\bf N}\right){\bf n}={\bf M}-\left({\bf n}\cdot {\bf
M}\right){\bf n}\;$$
vagy
$$ \left({\bf n}\times \dot{\bf N}\right)\times {\bf n}=\left({\bf n}\times
{\bf M}\right)\times {\bf n}\;.$$
Mivel
$${\bf N}=\omega {\bf \Theta}{\bf
n}$$
és
$$\dot{\bf N}=\vec{\omega}\times {\bf N}+\dot{\omega} {\bf \Theta}{\bf
n}\;,$$
a mozgásegyenlet tengelyre merőleges komponense felírható
$$\omega^2 \left({\bf n}\times {\bf \Theta}{\bf
n}\right)+\dot{\omega}\left[\left({\bf n}\times {\bf \Theta}{\bf n}\right)\times {\bf n}\right] =\left({\bf n}\times {\bf M}\right)\times {\bf n}$$
alakban. Ez meghatározza a forgatónyomaték tengelyre merőleges
komponensét, ami általában akkor is különbözik nullától, ha $\dot{\omega}=0$,
azaz ha a szögsebesség állandó.
bene@arpad.elte.hu