5.2. Konform leképezések (folytatás)

• 
  Példák
  • Cirkulációs áramlás: $$w=w(z)=\frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z=\frac{\Gamma \varphi}{2\pi}-i\frac{\Gamma}{2\pi}\ln r$$
  • Áramlás sarokban ill. élnél: $$w(z)=A z^{\frac{\pi}{\alpha}}=Ar^{\frac{\pi}{\alpha}}{\rm e}^{i\frac{\pi}{\alpha}\varphi}$$ $$\Phi=Ar^{\frac{\pi}{\alpha}}\cos{\frac{\pi}{\alpha}\varphi}\;,\quad \Psi=Ar^{\frac{\pi}{\alpha}}\sin{\frac{\pi}{\alpha}\varphi}$$ $$v_r=\frac{\partial \Phi}{\partial r}=\frac{\pi}{\alpha}Ar^{\frac{\pi}{\alpha}-1}\cos{\frac{\pi}{\alpha}\varphi}\;,\quad v_\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \varphi}=-\frac{\pi}{\alpha}Ar^{\frac{\pi}{\alpha}-1}\sin{\frac{\pi}{\alpha}\varphi}$$
    $\quad$sarok: $\quad\frac{\pi}{\alpha}>1\;\Rightarrow \;v(0)=0\;,\;v(\infty)=\infty$
    $\quad$él: $\quad\frac{\pi}{\alpha}<1\;\Rightarrow \;v(0)=\infty\;,\;v(\infty)=0$
    
  • Áramlás szárnyprofil körül
    Kutta-Zsukovszkij-transzformáció: $$z=w+\frac{1}{w}$$
    
    A kört szárnyprofilba transzformálja.
    Az inverz transzformált $$w=-w_0+\frac{1}{2}\left(z+\sqrt{z^2-4}\right)$$ a szárnyprofilt az origó középpontú körbe transzformálja. A kör (henger) körüli áramlás komplex potenciálja ismert, így a szárnyprofil körüli örvénymentes áramlás komplex potenciálja: $$v_0\left(w+\frac{R^2}{w}\right)-i\frac{\Gamma}{2\pi}\ln w = v_0\left(-w_0+\frac{1}{2}\left(z+\sqrt{z^2-4}\right)+\frac{R^2}{-w_0+\frac{1}{2}\left(z+\sqrt{z^2-4}\right)}\right)-i\frac{\Gamma}{2\pi}\ln \left(-w_0+\frac{1}{2}\left(z+\sqrt{z^2-4}\right)\right) $$ $\Gamma=0$:
    
    $\Gamma<0$:
    
    

5.3. Zsukovszkij-tétel

• Tetszőleges keresztmetszetű henger áramló folyadékban
  $C$ görbével határolt keresztmetszet esetén $w(z)=?$
  potenciál körkeresztmetszet esetén: $F(\zeta)=v_0\left(\zeta+\frac{R^2}{\zeta}\right)-i\frac{\Gamma}{2\pi}\ln \zeta$
  Találjunk olyan konform leképezést, mely a $C$ görbét az $R$ sugarú körbe viszi és $z\rightarrow \infty$-re $z=\zeta$ (így lesz mindkét esetben $v_0$ a beáramlási sebesség). Legyen ez $\zeta=h(z)$. Az új probléma potenciálja ekkor előáll, mint $$w(z)=F(h(z))$$ Így a $z$ síkot $\zeta$ közbeiktatásával leképeztük a párhuzamos áramlásra.
  $w(z)$ ismeretében a felhajtóerő számolható (Kutta-Zsukovszkij-erő) és $$F_y=-\rho v_0 \Gamma$$
  Áramvonalas szárnyra ható erő

5.4. Thomson-tétel: a cirkuláció megmaradása

• Cirkuláció időbeli viselkedése
  A cirkulációt adott $t$ pillanatra kiszámítjuk valamilyen zárt $C_t$ görbe mentén, majd a görbét alkotó folyadékrészek mozgását követjük, és kiszámítjuk a cirkulációt az így létrejött $C_{t+dt}$ görbe mentén is: $$\Gamma_t=\oint_{C_t}{\bf v}d{\bf s}$$ $$\Gamma_{t+dt}=\oint_{C_{t+dt}}{\bf v'}d{\bf s'}$$ A ${\bf v'}$ és $d{\bf s'}$ mennyiségeket a $t$ időpontbeli értékekkel fejezzük ki: $${\bf v'}={\bf v}+\frac{d{\bf v}}{dt}dt\;,\quad d{\bf s'}=d{\bf s}+\underbrace{({\bf v}_B-{\bf v}_A)}_{d{\bf v}}dt$$ $$\Downarrow$$ $${\bf v'}d{\bf s'}={\bf v}d{\bf s}+\frac{d{\bf v}}{dt}d{\bf s}dt+{\bf v}d{\bf v}dt+\mathcal{O}(dt^2)$$
  Integrálva: $$ \Gamma_{t+dt}=\Gamma_{t}+\left(\oint_{C_t}\frac{d{\bf v}}{dt}d{\bf s}+\oint_{C_t}{\bf v}d{\bf v}\right)dt $$ A zárójelen belüli második tag eltűnik, mert teljes differenciál integrálja zárt görbe mentén: $$\oint_{C_t}{\bf v}d{\bf v}=\frac{1}{2}\oint_{C_t}d{ v^2}=0$$ $$\Downarrow$$ $\begin{eqnarray} \frac{d \Gamma_{t}}{dt}=\oint_{C_t}\frac{d{\bf v}}{dt}d{\bf s}&=&\oint_{C_t}{\bf f}\;d{\bf s}-\oint_{C_t}\frac{1}{\rho}{\rm grad}\;p\;d{\bf s}\\ &\uparrow&\\ \text{Euler}&\text{-}&\text{egyenlet} \end{eqnarray}$
  Megmaradás: ha a tömegerő konzervatív (${\bf f}=-{\rm grad}\; V$) és a folyadék barotróp ($\frac{1}{\rho}{\rm grad}\;p={\rm grad}\;P$), akkor $$\frac{d\Gamma_{t}}{dt}=0\;,$$ azaz a folyadékkal együtt sodródó görbére vonatkozó cirkuláció időben állandó. Ez a Thomson-tétel. Igaz mind örvényes, mind örvénymentes ideális folyadékra.

5.5. Örvényes áramlások

• Az áramlás örvényes, ha van olyan hely az áramlásban, ahol ${\rm rot}{\bf v}\ne 0$.
• Örvényvektor: $${\bf \Omega}=\frac{1}{2}{\rm rot}{\bf v}$$ az adott helyen és időben a folyadék szögsebessége.
• Szemléltetése:
  Örvényvonal: érintője a helyi ${\bf \Omega}$ vektor.
  Örvénycső: palástján ${\bf \Omega}$ érintőirányú.
• Örvényfluxus: $\begin{eqnarray} K=\int {\bf \Omega}d{\bf F}&=&\frac{1}{2}\oint_C {\bf v}d{\bf s}=\frac{1}{2}\Gamma_C\\ &\uparrow&\\ \text{Stokes}&\text{-}&\text{tétel} \end{eqnarray}$

6.2. Örvénytételek

• Az örvénycsőbe zárt örvényfluxus adott időpontban a cső mentén állandó (általánosan érvényes, nem ideális folyadékra is): $${\rm div}{\bf \Omega}=0$$ $$\Downarrow$$ $$\int {\rm div}{\bf \Omega}\;dV=\underbrace{\int_{\text{palást}}{\bf \Omega}d{\bf F}}_{=0}+\int_{\text{2}}{\bf \Omega}d{\bf F}-\int_{\text{1}}{\bf \Omega}d{\bf F}=0$$ $$\Downarrow$$ $$K=\int {\bf \Omega}d{\bf F}=\text{állandó a cső mentén}$$ Az örvénycső lehet zárt. Ha nem zárt, akkor csak a folyadék határán végződhet.
• A cirkuláció megmaradásából származó örvénytételek (ideális és barotróp folyadék + konzervatív térfogati erő esetén)
  • Az örvénycsőbe zárt örvényfluxus időben sem változik.
    Örvényfonál: olyan vékony cső, hogy benne $\bf \Omega$ állandó. Az örvényfonalat bárhol és bármely időpontban a $\kappa={\bf \Omega} d{\bf F}$ örvényesség (örvényfluxus) jellemzi. Ideális folyadékban minden örvényfonal örvényessége megadandó mint külső paraméter.
  • Ideális folyadékban örvények nem keletkeznek és nem szűnnek meg.
    Ha $t_0$ időpontban egy folyadéktartományban nincsenek örvények, akkor ott $ {\boldsymbol \Omega}=0$. Mivel $\Gamma$ ekkor tetszőleges görbére eltűnik, a megmaradás miatt később is eltűnik, ezért később is fenn kell állnia, hogy $ {\bf \Omega}=0$.
  • Örvénycsövet alkotó folyadékrészek később is örvénycsövet alkotnak.
    Bizonyítás: vegyünk fel tetszőleges zárt redukálható görbét az örvénycső palástján. Az erre vett cirkuláció nulla. Későbbi időpontban a folyadékkal együttmozgó görbére a cirkuláció Thomson tétele szerint továbbra is nulla lesz. Mivel ez bármely és tetszőlegesen kicsi görbére is igaz, az örvényvektornak a korábbi örvénycső sodródásával létrejött cső palástján a palásttal párhuzamosnak kell lennie, azaz ez a cső is örvénycső.
    Pl.: pipafüst-karika
    Füstkarikák 1.
    Füstkarikák 2.

6.3. Örvények keletkezése ideális folyadékban

A cirkuláció nem marad meg, ha
• a folyadék nem barotróp (azaz baroklin: kezdetben nincs egyensúly)
• a tömegerő nem konzervatív
• baroklin folyadék (de konzervatív tömegerő) $$\frac{d\Gamma}{dt}=-\oint \frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\;d{\bf s} $$ Ezúttal nem igaz, hogy $\rho=\rho(p)$, amiből következne, hogy a $p=\text{állandó}$ (izobár) és a $\rho=\text{állandó}$ (izosztér) felületek egybeesnek. Most tehát ezek a felületek metszik egymást.
  Pl. $$\frac{d\Gamma_{ABCD}}{dt}= -\underbrace{\int_A^B \frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\;d{\bf s}}_{=0} -\underbrace{\int_B^C \frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\;d{\bf s}}_{\frac{p_2-p_1}{\rho_2}} -\underbrace{\int_C^D \frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\;d{\bf s}}_{=0} -\underbrace{\int_D^A \frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\;d{\bf s}}_{\frac{p_2-p_1}{\rho_1}} =\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right)(p_2-p_1)\ne 0$$ Általában $\begin{eqnarray} \frac{d\Gamma_{C}}{dt}=-\oint\frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\;d{\bf s} &=&-\int {\rm rot}\left( \frac{1}{\rho}{\rm grad} \;p\right)d{\bf F}\\ &\uparrow&\\ &\text{Stokes-tétel}&\\ &=&-\int\left({\rm grad} \;\frac{1}{\rho}\times {\rm grad} \;p\right)d{\bf F}\\ &=&\int\frac{{\rm grad} \;\rho\times {\rm grad} \;p}{\rho^2}d{\bf F}\\ &=&\int{\bf B}d{\bf F} \end{eqnarray}$ ${\bf B}=\frac{{\rm grad} \;\rho\times {\rm grad} \;p}{\rho^2}$ : baroklin vektor.

Alkalmazások

• Nyugalomban levő légkörben nagy kiterjedésű felmelegedés lokálisan $\rightarrow$ nincs termodinamikai egyensúly, $s\ne\text{állandó}\quad \rightarrow$ baroklin.
  $\begin{eqnarray}\Downarrow\end{eqnarray}$
  Áramlás indul meg, ami általában örvényes lesz.
  • Egyenlítői erősebb felmelegedés $\rightarrow$ passzát (északi féltekén) - antipasszát
  • Óceán és szárazföld különböző mértékű felmelegedése télen és nyáron: monszun (évszakonként változó)
  • Szárazföld és víz különböző mértékű felmelegedése ill. lehűlése nappal és éjjel
  • Egyenlítői ciklonok: helyi felmelegedés (anticiklon: helyi lehűlés)
• Tengeri áramlás a sókoncentráció-különbség hatására
  $\rho$ növekszik a sótartalommal: alul áramlik a sósabb víz, felül a kevésbé sós
  • Áramlás Gibraltárnál: a Földközi-tenger sósabb, mint az Atlanti-óceán
  • Áramlás a Boszporusznál: a Földközi-tenger sósabb, mint a Fekete-tenger
• Nemkonzervatív erő (ugyanakkor barotróp folyadék)
  A legtipikusabb eset: Coriolis-erő
  Áramlás forgó koordináta-rendszerben
  Az Euler-egyenlet: $$\frac{d{\bf v}}{dt}=-{\rm grad}\; V-\frac{1}{\rho}{\rm grad}\;p\underbrace{-{\rm grad}\;\frac{\Omega_0^2R^2}{2}}_{\text{centrifugális gyorsulás}}\underbrace{-2\left({\bf \Omega_0}\times {\bf v}\right)}_{\text{Coriolis-gyorsulás}}$$ Bernoulli-egyenlet: $${\bf v}{\rm grad}\left(\frac{v^2}{2}+V-\frac{1}{2}\Omega_0^2R^2+w\right)=0$$ A cirkuláció egyenlete: $$\frac{d\Gamma}{dt}=-2\oint\left({\bf \Omega_0}\times {\bf v}\right)d{\bf s}$$ Szemléletes jelentése:
  Legyen $C$ jobbkéz-körüljárású. Ekkor $$\oint_C\left({\bf \Omega_0}\times {\bf v}\right)d{\bf s}={\bf \Omega_0}\oint_C\left({\bf v}\times d{\bf s}\right)={\bf \Omega_0}\oint_{C_\perp}\left({\bf v}_\perp\times d{\bf s}_\perp\right)$$ mivel ${\bf v}_\perp\times d{\bf s}_\perp$ a ${\bf v}\times d{\bf s}$ vektornak az ${\bf \Omega_0}$-lal párhuzamos komponense.
  $dt\left|{\bf v}_\perp\times d{\bf s}_\perp\right|$ a paralelogramma területe
  $\left|\oint ({\bf v}_\perp\times d{\bf s}_\perp)\right|$ a területváltozás $C_\perp^{t+dt}$ és $C_\perp^{t}$ között egységnyi idő alatt. $$\oint\left({\bf \Omega_0}\times {\bf v}\right)d{\bf s}=\Omega_0\frac{d\Sigma}{dt}\;,$$ ahol $\Sigma$ a $C_\perp$ által körbezárt terület.
  Passzát: A $C$ görbe az egyenlítő irányába mozog, $\frac{d\Sigma}{dt} > 0$, így $\Gamma_C$ csökken $\Rightarrow$ erősödő áramlás lkeletről. (Antipasszát ugyanígy)
  Ciklon: az alsó légtömegek a mag felé áramlanak, $\frac{d\Sigma}{dt} < 0$, így $\Gamma$ növekszik: csavarodó áramvonalak, pozitív (az óramutató járásával ellentétes) fogásirány. Ez összhangban van azzal, hogy a $2{\bf v}\times {\bf \omega}$ Coriolis-erő az északi féltekén jobbra, a déli féltekén balra térít el.
  
• Általános esetben mindkét oka megvan a cirkuláció megváltozásának. $$\frac{d\Gamma}{dt}=-2\oint\left({\bf \Omega_0}\times {\bf v}\right)d{\bf s}+\int{\bf B}d{\bf F}$$