8.2. Hullámok ideális folyadékban. Hanghullámok

Összenyomható folyadék. Egyensúlyban $\rho_0$, $p_0$ jellemzik (termikus egyensúly).
Olyan mozgásokat vizsgálunk, melyekre ${\bf f}=0$ és ${\bf v}$, $\rho'=\rho- \rho_0$, $p'=p-p_0$ mindegyike kicsi (kis rezgés).

• levegőben $c=331 \frac{m}{s}$
• vízben $c=1441 \frac{m}{s}$

8.3. Hangterjedés mozgó közegben
K koordinátarendszer: homogén folyadékáramlás ${\bf u}$ sebességgel.
K' koordinátarendszer: a folyadék nyugalomban van $${\bf r}={\bf u}t+{\bf r}'$$

Zavar: a közeget az egyensúlyból kimozdító fizikai hatás, pl. nyomásváltozás.
• A K' rendszerben a zavar minden irányban $c$ sebességgel terjed. A K rendszerben a zavar terjedési sebessége ${\bf n}$ irányban $${\bf u}+c{\bf n}$$ Az áramlás elsodorja a zavart.
• Az O pontban keltett zavar által elérhető tartomány egységnyi idő alatt:
  $u< c$: Gömb belseje
  $u> c$: $2\alpha$ nyílásszögű kúp belseje, ahol $\sin \alpha=\frac{c}{u}$ a Mach-szám.
• Doppler-jelenség:
  A K'rendszerben: $$\Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega' t)}\;,\;\omega'=ck$$
  A K rendszerben: $${\bf r}'={\bf r}-{\bf u}t\;,\quad \Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega' t)}=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-(\omega'+{\bf k}{\bf u}) t)}\;,\;\omega=\omega'+{\bf k}{\bf u}=\omega'\left(1+\frac{{\bf u}{\bf n}}{c}\right)=\omega'\left(1+\frac{u}{c}\cos\theta\right)$$ A felénk fújt hang magasabb ($\cos\theta=1$), a tőlünk fújt hang mélyebb ($\cos\theta=-1$).

8.4. Mozgó hangforrás nyugvó közegben

A forrás ${\bf u}$ sebességgel mozog.
A kibocsátott hang által elért tartomány szuperszónikus mozgás esetén $2\alpha$ nyílásszögű kúp belseje. A forrással együttmozgó K' rendszerben a folyadék $-{\bf u}$ sebességgel mozog. A frekvencia itt $\omega_0$. Az álló K rendszerben izotróp a hangterjedés (mivel a folyadék nyugalomban van), de nem $\omega_0$ a frekvencia.

A K'rendszerben: $$\Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega_0 t)}$$
A K rendszerben: $${\bf r}'={\bf r}-{\bf u}t\;,\quad \Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega_0 t)}=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-(\omega_0+{\bf k}{\bf u}) t)}=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-\omega t)}\;,\quad \omega=ck$$ $$\omega=\omega_0+{\bf k}{\bf u}=\omega_0+\omega\frac{{\bf u}{\bf n}}{c}\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{\omega_0}{1-\frac{u}{c}\cos\theta}$$ A közeledő hangforrás magasabb, a távolodó alacsonyabb hangot ad.

8.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?

${\bf f}=0$. Bernoulli-egyenlet: $$\frac{v^2}{2}+\int_{p_0}^p\frac{dp}{\rho(p)}=0$$ Ha a folyadék kissé összenyomható, $$\rho(p)\approx \underbrace{\rho(p_0)}_{\rho_0}+\underbrace{\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_s}_{\rho_0\kappa_s}(p-p_0)=\rho_0\left(1+\kappa_s(p-p_0)\right)$$ $$\frac{1}{\rho(p)}=\frac{1}{\rho_0}\left(1-\kappa_s(p-p_0)\right)$$ $$\Downarrow$$ $$\frac{v^2}{2}+\frac{1}{\rho_0}(p-p_0)-\frac{1}{2}\frac{\kappa_s}{\rho_0}(p-p_0)^2=0$$ Ha az utolsó tag elhanyagolható, akkor tekinthető összenyomhatatlannak a folyadék: $$\frac{1}{2}\frac{\kappa_s}{\rho_0}(p-p_0)^2\ll \frac{v^2}{2}$$
Mivel ilyenkor $p-p_0\approx -\frac{\rho_0}{2}v^2$, ezzel az összenyomhatatlanság feltétele $$\frac{1}{8}\kappa_s\rho_0 v^4\ll \frac{v^2}{2}$$ azaz, mivel $\kappa_s\rho_0 =1/c^2$, $$\frac{1}{8}\frac{v^4}{c^2}\ll \frac{v^2}{2}$$ vagy $$\frac{1}{4}\frac{v^2}{c^2}\ll 1$$

8.6. Hangkeltés. Hangterjedés, visszaverődés és törés.

• Hangkeltés
  
  Az elektrodinamikából ismeretes, hogy a hullámegyenlet megoldása a forrástól nagy távolságban $$\Phi({\bf r},t)=\text{div}\frac{{\bf P}\left(t-\frac{r}{c}\right)}{r}$$ alakú, ahol ${\bf P}(t)$ a forrásra jellemző mennyiség (a dipólnyomaték). A $c\rightarrow\infty$ határeset az összenyomhatatlan folyadéknak felel meg, ezért ${\bf P}(t)$ az a mennyiség, amely ilyenkor megjelenik a forrásként szereplő test körüli áramlást leíró sebességpotenciálban nagy $r$-re. $\Phi({\bf r},t)$ ilyenkor mindig $\text{div}{\bf P}(t)/r$ alakú, hacsak a test nem pulzál. ${\bf P}$ a test sebességével lesz arányos, gömbre pl. ${\bf P}(t)=\frac{1}{2}R^3{\bf v}_0(t)$. A hullámzónában ($r\gg \lambda$) elég a számlálót deriválni (egyéb tagok $1/r$-nél gyorsabban tartanak nullához), így $\begin{eqnarray} \Phi( {\bf r} ,t)=-\frac{\dot{{\bf P}} \left(t-\frac{r}{c}\right) {\bf n} }{cr} \end{eqnarray}$ és $${\bf v}=\text{grad}\; \Phi=\frac{\ddot{ {\bf P}}\left(t-\frac{r}{c}\right){\bf n}}{c^2r}{\bf n}$$ Energiaáram-sűrűség: $cE{\bf n}$, ahol síkhullámra $E=\rho_0v^2$.
  A kisugárzott intenzitás $$I=\int c\rho_0\underbrace{\overline{v^2}}_{\text{időátlag}}{\bf n}d{\bf F}\underbrace{=}_{\text{gömbre}}\frac{2\pi\rho_0}{c^3}\overline{\ddot P^2}\int_0^\pi \cos^2\vartheta\sin\vartheta d\vartheta=\frac{4\pi\rho_0}{3c^3}\overline{\ddot P^2}$$ Mivel $P\propto v_0$, harmonikus rezgés esetén $I\propto\omega^4$.
  Gömbre pl. $$I=\frac{\pi\rho_0 R^6}{3c^3}v_0^2\omega^4$$
  Henger esetén (a henger egységnyi hosszára vonatkoztatva) $$I=\frac{\pi^2\rho_0 R^4}{4c^2}v_0^2\omega^3$$
• Hangterjedés
  • A hőmérséklet, és ezzel együtt $c$ felfelé növekszik:
    Teljes visszaverődés, nagy távolságban hallani a hangot.
  • A hőmérséklet, és ezzel együtt $c$ felfelé csökken:
    A hang nem hallható.
  • A magas hangok messziről nem hallhatók (erősebb a csillapodásuk).
• Visszaverődés és törés $$\vartheta=\vartheta'$$ $$\frac{\sin\vartheta''}{\sin\vartheta}=\frac{c_2}{c_1}$$ $\vartheta$ : beesési szög, $\vartheta'$ : visszaverődési szög, $\vartheta''$ : törési szög.
• Szórás
  Kis test által szórt hang teljes szórási hatáskeresztmetszete a hang frekvenciájának negyedik hatványával arányos.

9.1. Az egydimenziós hullámegyenlet D'Alembert-féle megoldása
$$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}=0$$ Az általános megoldás (végtelen közeg esetén) $$\Phi(x,t)=a(x-ct)+b(x+ct)$$ alakú. Olyan megoldást keresünk, amely kielégíti a $$\Phi(x,0)=f(x)$$ és $$\left.\frac{\partial \Phi(x,t)}{\partial t}\right|_{t=0}=g(x)$$ kezdeti feltételeket. Az általános megoldást beírva

9.2. Sajátrezgések, állóhullámok.
Külső erő hatása nélkül végbemenő szabad rezgések véges edényben. A határfeltételek miatt frekvenciájuk nem tetszőleges $\rightarrow$ sajátrezgések (végtelen sok módus lehetséges)
Állóhullámok alakulnak ki $$\Phi=\Phi_0({\bf r})\cos \omega t\;,$$ ahol $$\triangle \Phi_0+\frac{\omega^2}{c^2}\Phi_0=0\quad \text{+ határfeltételek}$$ A határfeltételek meghatározzák $\omega$-t is. A megoldások szuperpozíciója is megoldás (linearitás).

• Sípok.
  • Vékony, zárt cső (zárt nyelvsíp)
    A cső hossza legyen $L$, vastagsága elhanyagolható. $$\left.v_x\right|_{x=0}=\frac{\partial \Phi_0}{\partial x}=0\quad\quad\quad \left.v_x\right|_{x=L}=\frac{\partial \Phi_0}{\partial x}=0$$ $$\Phi_0''(x)=-\frac{\omega^2}{c^2}\Phi_0(x)\quad\rightarrow\quad \Phi_0(x)=A\cos\left(\frac{\omega}{c}x\right)+B\sin\left(\frac{\omega}{c}x\right)$$ $$\Phi_0'(0)=0\;\rightarrow \;B=0\quad\quad\quad \Phi_0'(0)=0=-A\frac{\omega}{c}\sin\left(\frac{\omega}{c}x\right)$$ $$\Downarrow$$ $$\Phi_0(x)=A\cos\left(\frac{\omega_n}{c}x\right)\quad\quad\quad \frac{\omega_n}{c}L=\pi n\;n=1,2,\ldots$$
    Sajátfrekvencia: $$\omega_n=\pi\frac{c}{L}n\quad\nu_n=\frac{c}{2L}n\quad \lambda_n=\frac{c}{\nu_n}$$ $$v_x(x)=-\underbrace{A\frac{\pi}{L}n}_{v_{x max}}\sin\left(\frac{\pi}{L}nx\right)\cos \omega_n t$$ $$p'(x)=-\rho_0\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\rho_0\omega_n A\cos\left(\frac{\pi}{L}nx\right)\sin \omega_n t$$
    Ahol $v_x$ maximális, ott $p$ minimális (v.ö. Bernoulli-tétel), ellentétes rezgés. $$p'(x)\propto \rho'(x)$$
    Ugyanilyen képletek érvényesek a megfeszített húr rezgéseire. Ott a rezgés transzverzális, tehát $z \ne 0$ és $c=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho}}$.
    ezzel a kezdeti kitéréssel $$z=A_1\sin\left(\frac{\pi}{L}x\right)\cos\left(\pi\frac{c}{L}t\right)+ A_2\sin\left(2\frac{\pi}{L}x\right)\cos\left(2\pi\frac{c}{L}t\right)$$ Csak az alaphang és oktávja szólal meg.
    Minden felhang megszólal (különböző intenzitással).
    A zárt cső mint rezonátor előfordul az orgona nyelvsípjai között.
    
    A kialakuló hullámok

    $n=1$	$\nu_1=\frac{c}{2L}$	alaphang ($c^1$)
    $n=2$	$\nu_2=\frac{c}{L}$	oktáv ($c^2$)
    $n=3$	$\nu_3=\frac{3}{2}\frac{c}{L}$	(tiszta) kvint 3:2 ($g^2$)
    $n=4$	$\nu_4=2\frac{c}{L}$	oktáv ($c^3$)
    $n=5$	$\nu_5=\frac{5}{2}\frac{c}{L}$	(nagy) terc 5:4 ($e^3$)
    $n=6$	$\nu_6=3\frac{c}{L}$	kvint 3:2 ($g^3$)
    $n=7$	$\nu_7=\frac{7}{2}\frac{c}{L}$	kis szeptim 7:4 ($b^3$)
    $n=8$	$\nu_8=4\frac{c}{L}$	oktáv ($c^4$)

    
    Az általános megoldás $$v_x(x,t)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\frac{\pi}{L}n x\right)\cos\left(\pi\frac{c}{L}n t\right)$$ Fourier-sor. Az $A_n$ együtthatókat a kezdeti feltételek határozzák meg.
    A hangszínt az amplitudó-eloszlás $\{A_n\}$ adja meg. (Pl.: üveghang, ha a páratlan felharmonikusokat kizárjuk.)
  • Nyitott nyelvsíp
    
    A tetején ($x=L$) $p=$áll., tehát $p'$ csomópontja, azaz $v_x$ maximuma. Az alaphang ezért $\lambda_1=4L$ hullámhosszú, $\nu_1=\frac{c}{4L}$ frekvenciájú (mélyebb, mint a zártnál).
    A következő felhang csak $\lambda_2=\frac{4}{3}L$ hullámhosszú lehet, $\nu_2=\frac{3}{4}\frac{c}{L}$, tehát csak a páratlan felhangok jelennek meg. $$\nu_{n'}=\frac{c}{4L}n'\;,\;n'=1,3,5,\ldots$$
  • Ajaksípok
    
    
    Erősen fújva alul maximális a sebesség (pl. orgona).
    Nyitott eset: $$\nu_n=\frac{c}{2L}n\;,\;n=1,2,3,\ldots$$
    Zárt eset: $$\nu_{n'}=\frac{c}{4L}n'\;,\;n'=1,3,5,\ldots$$
    Blockflöte gyengén fújva, mint nyelvsíp:
    alaphangja: $\nu=\frac{c}{4L}\approx \frac{330}{4\cdot 0.3}=225 Hz$ (valójában $c^1=264 Hz$)
    Erősen fújva, mint ajaksíp. Az alt (f) és szoprán blockflöte csövének hosszaránya $\approx 1.5$.
• Téglatest sajátrezgései.
  $v_n=0$ a falakon.
  Egyetlen állóhullám: $$\Phi({\bf r},t)=A\cos\left(\frac{\pi}{L_1}lx\right)\cos\left(\frac{\pi}{L_2}my\right)\cos\left(\frac{\pi}{L_3}nz\right)$$ $$\Downarrow$$ $$\omega^2=c^2\pi^2\left(\frac{l^2}{L_1^2}+\frac{m^2}{L_2^2}+\frac{n^2}{L_3^2}\right)$$ $l,m,n$ egész számok. Mindegyik számhármas meghatároz egy sajátfrekvenciát. Ezek sorozata sokkal bonyolultabb, mint a felhangoké.
  Egy általános rezonátordobozbeli megoldás $$\Phi({\bf r},t)=\sum_{i=1}^\infty A_i \Phi_{i0}({\bf r})\cos(\omega_i t+\alpha_i)$$ Itt $\alpha_i$-k az egyes rezgési módusok kezdeti fázisai.
  $\omega_i$ diszkrét, de szabálytalan értékeket vehet fel.
  A hangszer hangszíne a rezonátorban kialakuló sajátrezgésektől és azok amplitudóeloszlásától $\{A_i\}$ függ.
  Rezonátor: hegedűtest, cső.

9.4. Nehézségi hullámok (vízhullámok).

Véges mélységű folyadékban
Feltesszük, hogy $y$-tól nem függ semmi (széles medence)
Összenyomhatatlan folyadékot vizsgálunk
Feltesszük, hogy az áramlás örvénymentes: ${\bf v}=\text{grad}\;\Phi$
Alapegyenletek: $$\triangle \Phi=0$$ $$\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\text{grad}\;\Phi\right)^2+\frac{p-p_0}{\rho_0}+gz=0$$ Bernoulli-egyenlet, $p_0$ az atmoszférikus nyomás.
Peremfeltételek:
A felület egyenlete $z=\zeta(x,t)$

• A felületi sebesség $\zeta$ változásából adódik
  Egy részecske sebessége közvetlenül a felület alatt $$\dot z=\frac{d\zeta}{dt}=\frac{\partial \zeta}{\partial t}+v_x\frac{\partial \zeta}{\partial x}$$ $$\Downarrow$$ $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_\zeta=\frac{\partial \zeta}{\partial t}+v_x\frac{\partial \zeta}{\partial x}$$
• A nyomás $\zeta$-nál $p_0$: $$\left.\left(\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left(\text{grad}\;\Phi\right)^2+gz\right)\right|_\zeta=0$$
• Alul nincs $z$ irányú sebesség: $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_{z=-h}=0$$

9.5. Lineáris vízhullámok.
Ha $v$ és $\zeta$ kicsi, akkor a négyzetes tagok a lineárisak mellett elhagyhatók:
Egyenletek: $$\triangle \Phi=0$$ $$\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\frac{p-p_0}{\rho_0}+gz=0$$
Peremfeltételek:

• $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_\zeta=\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\dot z$$
• $$\left.\left(\frac{\partial \Phi}{\partial t}+gz\right)\right|_\zeta=0$$
• A fenti két peremfeltételből következik, hogy $$\left.\left(\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}+g\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right)\right|_\zeta=0$$
• $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_{z=-h}=0$$

• Fázissebesség és csoportsebesség
  Fázissebesség: $$c=\frac{\omega(k)}{k}$$
  Csoportsebesség: $$c_g=\frac{d \omega(k)}{d k}$$ A csoportsebesség jelentése: $$\zeta(x,t)=\int dk f(k) {\rm e}^{i(kx-\omega(k)t)}$$ A hullámhegyek és hullámvölgyek azok a helyek, ahol az interferencia erős, vagyis a fázis csak lassan változik a hullámszám függvényében. Ennek feltétele: $$\frac{\partial}{\partial k}\left(kx-\omega(k)t\right)=0$$ azaz $$x=\frac{d \omega(k)}{d k}t$$ A hullámhegyek és hullámvölgyek tehát a csoportsebességgel mozognak.
  
  Lineáris vízhullámok esetén a fázissebesség $$c=\sqrt{\frac{g}{k}\;\text{th}kh}\;,$$ a csoportsebesség $$c_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}\;\text{th}kh}+\frac{h}{2}\sqrt{\frac{g k }{\text{sh}kh\;\text{ch}^3 kh}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{g\left(\text{sh}^2(2kh)+(2kh)^2\right)}{k\;\text{sh}kh\;\text{ch}^3 kh}}\;.$$ Határesetek:
  • mély víz: $$\lambda=\frac{2\pi}{k}\ll h\quad \rightarrow \quad kh\gg 1\;,\quad \text{th}kh\approx 1$$ $$\omega(k)=\sqrt{gk}$$ Fázissebesség: $$c=\sqrt{\frac{g}{k}}$$ Csoportsebesség: $$c_g=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}}=\frac{c}{2}$$
  • sekély víz: $$\lambda=\frac{2\pi}{k}\gg h\quad \rightarrow \quad kh\ll 1\;,\quad \text{th}kh\approx kh$$ $$\omega(k)=\sqrt{gh}k$$ Nincs diszperzió, a fázissebesség egyenlő a csoportsebességgel: $$c=c_g=\sqrt{gh}$$
• Szétfolyás
  Legyen a kezdeti hullámalak $\sigma$ félszélességű haranggörbe (Gauss-függvény): $$\zeta(x,0)=A\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)=\text{Re }\frac{A\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-\frac{\sigma^2}{2}k^2}{\rm e}^{ikx}dk$$ Ekkor $$\zeta(x,t)=\text{Re }\frac{A\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-\frac{\sigma^2}{2}k^2}{\rm e}^{i(kx-\omega(k)t)}dk$$ Ha $$\omega(k)\approx \left.\frac{d\omega(k)}{dk}\right|_{k=0}k+\frac{1}{2}\left.\frac{d^2\omega(k)}{dk^2}\right|_{k=0}k^2=ak+\frac{1}{2}bk^2\;,$$ akkor $$\zeta(x,t)=\text{Re }\frac{A\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty {\rm e}^{-\frac{\sigma^2+ibt}{2}k^2}{\rm e}^{ik(x-at)}dk=\text{Re }A\sqrt{\frac{\sigma^2}{\sigma^2+ibt}}\exp\left(-\frac{(x-at)^2}{2(\sigma^2+ibt)}\right)=A\sqrt[4]{\frac{\sigma^4}{\sigma^4+b^2t^2}}\exp\left(-\frac{(x-at)^2}{2(\sigma^2+b^2t^2/\sigma^2)}\right)\cos\left(\frac{(x-at)^2bt}{2(\sigma^4+b^2t^2)}+\delta\right)$$ Ennek burkolója $\sqrt{\sigma^2+b^2t^2/\sigma^2}>\sigma$ félszélességű haranggörbe (melynek maximuma az $x=at$ helyen van).
  A szétfolyás oka: az egyes monokromatikus összetevők különböző sebességgel haladnak, így az idő múlásával egyre inkább rendezetlen fázisokkal adódnak össze. $\rightarrow$ Az amplitudó csökken, a szélesség növekszik.
• Hullámtörés
  
  $\lambda > h$ esetén $c=\sqrt{gh}$, ezért a mélyebb vízben terjedő hullámok gyorsabbak, utolérik a sekélyebb vízben terjedőket és átbuknak rajtuk.
  
  Cunami (szökőár), 2004, Thaiföld. A tengerrengés okozta hullámok a nyílt óceánon többszáz kilométer hullámhosszúságúak és mindössze kb. 300mm-es amplitudójúak. Partközelben lelassulnak, feltorlódnak (4-30 méteres magasságú vízfallá), és az addig nagy területen szétoszló energiájuk a partszakaszokon koncentrálódva hatalmas pusztítást okoz.
• Kelvin-féle hajóhullámok
  
  
  
  
  $$\sin \beta= \frac{1}{3}\quad \Rightarrow \quad \beta = 19^\circ 28'$$
  
  Hajóhullámok a felhőzetben. A hajó szerepét itt az Amszterdam-sziget játssza (Indiai-óceán)
  
  William Thomson (Lord Kelvin), (1824-1907)

9.6. Kapilláris hullámok.

Esőcseppek becsapódása által keltett kapilláris hullámok

A felületi feszültségből eredő nyomás: $$ \Delta p=\frac{\sigma dy (\alpha_1-\alpha_2)}{dy\;dx/\cos \alpha_1}=-\sigma \frac{\zeta''}{\left(1+\zeta'^2\right)^{\frac{3}{2}}} $$ Lineáris vízhullámok esetén a egyenletek: $$\triangle \Phi=0$$ $$\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\frac{p+\Delta p-p_0}{\rho}+gz=0$$
Peremfeltételek:

• $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_\zeta=\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\dot z$$
• $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial t}\right|_\zeta+g\zeta-\frac{\sigma}{\rho}\zeta''=0$$
• A fenti két peremfeltételből következik, hogy $$\left.\left(\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}+g\frac{\partial \Phi}{\partial z}-\frac{\sigma}{\rho}\frac{\partial^3 \Phi}{\partial z\partial x^2}\right)\right|_\zeta=0$$
• $$\left.\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right|_{z=-h}=0$$

9.7. Nemlineáris hullámok sekély vízben.
A Korteweg-de Vries-egyenlet $$\frac{\partial \zeta}{\partial t}+c\left(\frac{\partial \zeta}{\partial x}+\frac{3}{2h}\zeta\frac{\partial \zeta}{\partial x}+\frac{h^2}{6}\frac{\partial^3 \zeta}{\partial x^3}\right)=0$$
Itt $c=\sqrt{gh}$.
Szoliton $$\zeta(x,t)=\underbrace{\frac{v_0^2-c^2}{g}}_{A \text{ amplitudó}}\frac{1}{\text{ch}^2\left[\sqrt{\frac{3}{4}\frac{v_0^2-c^2}{c^2h^2}}(x-v_0t)\right]}$$ Ez a nemlinearitás miatt megőrzi alakját, nem folyik szét. $$v_0^2=g(h+A)$$
A sebesség az amplitudótól függ, és nagyobb a lineáris hullámok maximális $c=\sqrt{gh}$ sebességénél (bár csak kicsivel, mivel $v_0\approx c\left(1+\frac{1}{2}\frac{A}{h}\right)$ és $A\ll h$ ).

A szoliton felfedezése: John Scott Russell, 1834.

Csónak megállása után vízdomb, kb. 14 km/h-val halad, szélessége ~7 m, magassága ~0.4 m. A vízmélység 1.1 m volt. Negyedórán át tudta követni lóháton.
Későbbi kísérletek. A legjobb keltési mód: kő vízbeejtése.


A nagyobb szoliton utoléri és megelőzi a kisebbet. A szolitonok ütközéskor megőrzik alakjukat.

10.2. Súrlódó folyadékok

• A súrlódási tenzor
  A kiszemelt folyadékrész határán felületi erők hatnak. Eredőjük felületi integrál. Ezt átírjuk térfogativá (szükséges a mozgásegyenlethez).
  $\int_V \tilde{{\bf F}} dV$ adja a felületi erők járulékát.
  $\tilde{{\bf F}}$ ezért előáll divergenciaként. Mivel $\tilde{{\bf F}}$ vektor: $$\tilde{{\bf F}}=\text{div }{\bf \sigma}_i\equiv \sum_{k=1}^3 \frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}\quad i=1,2,3$$
  $\sigma_{ik}$ : feszültségtenzor $$\int_V \tilde{F}_i dV=\oint_F\sum_k \sigma_{ik} dF_k=\oint_F\sum_k \sigma_{ik} n_k dF$$
  Itt $n_k$ a felületelem normálisának $k$-adik komponense.
  $\sigma$ jelentése: Az ${\bf n}$ irányú (normálisú) egységnyi felületre ható erő $\underline{\underline{\sigma}}{\bf n}$.
  Ha $${\bf n}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\;,$$ akkor $\left(\underline{\underline{\sigma}}{\bf n}\right)_i=\sigma_{i1}$
  $\sigma_{ik}$ tehát a $k$ irányú (normálisú) egységnyi felületre ható erő $i$-edik komponense.
  Ideális folyadékban ill. hidrosztatikában: $$\sigma_{ik}=-p\delta_{ik}$$ Nincsenek nyírófeszültségek.
  Súrlódó folyadékban vannak nyírófeszültségek is. Az előzőtől való eltérés a sebességkülönbségből adódik, s azzal arányos (hacsak nem túl nagy a sebességkülönbség). $$\sigma_{ik}=-p\delta_{ik}+\sigma'_{ik}$$ $$\sigma'_{11}\propto \frac{\partial v_x}{\partial x}$$ $$\sigma'_{21}=\alpha \frac{\partial v_y}{\partial x}+\beta \frac{\partial v_x}{\partial y}$$
  A merev forgás nem jelenthet új feszültséget:
  Ha $v_x=-\omega y$, $v_y=\omega x$ (forgás az $x$ tengely körül), akkor $$ \sigma'_{21}=\alpha\omega-\beta\omega=0\quad\Rightarrow\quad\alpha=\beta$$
  Ha van térfogatváltozás (nem összenyomhatatlan), akkor $\text{div }{\bf v}$-vel arányos tag is fellép a diagonális elemekben.
  Az általános alak: $$\sigma_{ik}=-p\delta_{ik}+\eta\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}\right)+\eta'\text{div }{\bf v}\delta_{ik}$$
  $\eta$ : dinamikai viszkozitás.
  $\eta'$ helyett más szokásos mennyiség: $\eta'=\xi-\frac{2}{3}\eta$, ahol $\xi$ neve: belső súrlódási együttható.
  $\eta$ és $\eta'$ minden komponensben ugyanakkora az izotrópia miatt. Folyadékkristályban ez nem lenne igaz.
• A Navier-Stokes-egyenletek $$\int \rho\frac{d {\bf v}}{dt}dV=\int \rho{\bf f}dV+\int\tilde{{\bf F}}dV \text{ tetszőleges véges $V$ térfogatra.}$$ $$\Downarrow$$ $$\rho\frac{d {\bf v}}{dt}=\rho{\bf f}+\tilde{{\bf F}}=\rho{\bf f}+\text{div }\underline{\underline{\sigma}}$$ $$\tilde{F}_1=\frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{12}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{13}}{\partial z}=-\frac{\partial p}{\partial x}+2\eta \frac{\partial^2 v_x}{\partial x^2}+\eta'\frac{\partial }{\partial x}\text{div }{\bf v}+\eta\left(\frac{\partial^2 v_y}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}\right)+\eta\left(\frac{\partial^2 v_z}{\partial x\partial z}+\frac{\partial^2 v_x}{\partial z^2}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\eta\triangle v_x+(\eta+\eta')\frac{\partial }{\partial x}\text{div }{\bf v}$$ $$\Downarrow$$ $$\rho\frac{d {\bf v}}{dt}=\rho\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+\rho({\bf v}\text{grad}){\bf v}=\rho{\bf f}-\text{grad }p+\eta\triangle {\bf v}+(\eta+\eta')\text{grad }\text{div }{\bf v}$$ Ezek a Navier-Stokes-egyenletek (1822, 1845).
  Összenyomhatatlan folyadékban $$\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+({\bf v}\text{grad}){\bf v}={\bf f}-\frac{1}{\rho}\text{grad }p+\nu\triangle {\bf v}$$ Itt $\nu=\frac{\eta}{\rho}$ a kinematikai viszkozitás.
  Mivel $$\triangle {\bf v}=\text{grad }\text{div }{\bf v}-\text{rot }\text{rot }{\bf v}\;,$$ ha a viszkozitásnak szerepe van, az áramlás nem lehet örvénymentes!
  Határfeltételek:
  Nyugvó fal: ${\bf v}=0$, mozgó fal: ${\bf v}={\bf v}_{\text{fal}}$.
  Nem csak a normális, hanem a tangenciális komponensre is van feltétel! (A Navier-Stokes-egyenletek másodrendűek, szemben az elsőrendű Euler-egyenlettel.)
  Ha a felületre ható erő adott, akkor a felületen $\sum_k\sigma_{ik}n_k$-t kell vele egyenlővé tenni.
• Lamináris áramlás egymáshoz képest párhuzamosan mozgó síklapok között
  Ha a felső lap az alsóhoz képest $\bf u$ sebességgel mozog és $d$ a lapok távolsága, akkor $${\bf v}={\bf u}\frac{z}{d}$$ valamint $p=const.$ Valóban, így mind a határfeltétel, mind a Navier-Stokes-egyenlet teljesül.
  A lapok felületegységére ható erő (nyírófeszültség): $$\frac{{\bf F}}{A}=\pm \eta\frac{{\bf u}}{d}$$
  
• Lamináris áramlás álló síklapok között nyomásgradiens hatására
  Ezúttal ${\bf v}=0$ érvényes mind $z=0$, mind $z=d$ esetén. Mivel ${\bf \nabla} p$ nullától különböző állandó, stacionárius áramlás esetén a Navier-Stokes-egyenlet $$0=-\frac{1}{\rho}\text{grad }p+\frac{\eta}{\rho}\triangle {\bf v}=0$$ alakra redukálódik. Ebből $$ {\bf v}=\frac{1}{2\eta}\left(z-\frac{d}{2}\right)^2\text{grad }p\;+{\bf v}_0(1-bz)$$ A ${\bf v}_0$ és $b$ állandókat a határfeltételből kapjuk:
  $z=0$ esetén ${\bf v}=\frac{d^2}{8\eta}\text{grad }p+{\bf v}_0=0$, ebből $${\bf v}_0=-\frac{d^2}{8\eta}\text{grad }p$$
  Másrészt $z=0d$ esetén ${\bf v}=\frac{d^2}{8\eta}\text{grad }p+{\bf v}_0(1-bd)=0$, ebből $$b=0$$ Tehát végül $${\bf v}=\frac{1}{2\eta}z(z-d)\text{grad }p\;$$
• Lamináris áramlás csőben: a Hagen-Poiseuille-egyenlet
  
  Hengerkordináták, a $z$ tengely legyen a cső szimmetriatengelye.
  A sebességnek csak $z$ komponense van, és csak $r$-től függ. Ezzel $$\text{div }{\bf v}=\frac{1}{r}\frac{\partial rv_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0$$ automatikusan teljesül, továbbá $${\bf v}\text{grad }{\bf v}=v_z\frac{\partial {\bf v}}{\partial z}=0$$
  Mivel az áramlás stacionárius, $$\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}=0$$ A Navier-Sokes-egyenlet ezekután a $$0=-\frac{1}{\rho}\text{grad }p+\frac{\eta}{\rho}\triangle {\bf v}=0$$ egyenletre egyszerűsödik.
  Az egyenlet $r$ komponense: $$\frac{\partial p}{\partial r}=0$$ Ebből $$p=p(z)$$
  Az egyenlet $z$ komponense: $$\frac{d p}{d z}=\eta\frac{1}{r}\frac{d}{d r}\left(r\frac{d v_z}{d r}\right)$$ A jobboldal csak $r$ függvénye, ezért $$p=az+b$$ ahol $a$ és $b$ állandók. Ha az $L$ hosszúságú cső végei közt a nyomáskülönbség nagysága $\Delta p$, és a nyomás növekvő $z$-vel csökken, akkor $ \Delta p=-aL$, azaz $$a=-\frac{\Delta p}{L}$$ Ezzel $$\frac{1}{r}\frac{d}{d r}\left(r\frac{d v_z}{d r}\right)=-\frac{\Delta p}{\eta L}$$ $r$-rel szorzunk: $$\frac{d}{d r}\left(r\frac{d v_z}{d r}\right)=-\frac{\Delta p}{\eta L}r$$ Integrálunk: $$r\frac{d v_z}{d r}=-\frac{\Delta p}{2\eta L}r^2+C$$ Itt $C$ integrációs állandó.
  $r$-rel osztunk: $$\frac{d v_z}{d r}=-\frac{\Delta p}{2\eta L}r+\frac{C}{r}$$ Integrálunk: $$v_z=-\frac{\Delta p}{4\eta L}r^2+C\ln r+D$$ Itt $D$ újabb integrációs állandó. Mivel $r=0$ esetén $v_z$ véges kell, hogy legyen, $$C=0\;.$$ A cső falán, $r=R$ esetén $v_z=0$, ebből $$D=\frac{\Delta p}{4\eta L}R^2$$ Tehát a sebességprofil $$v_z=\frac{\Delta p}{4\eta L}(R^2-r^2)$$ A másodpercenként átáramló folyadéktérfogat $$\frac{dV}{dt}=\int_0^R v_z\;2\pi r dr =\frac{\pi\Delta p}{2\eta L}\int_0^R (R^2-r^2)r dr=\frac{\pi\Delta p}{2\eta L}\left.\left(R^2\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right)\right|_{r=0}^{r=R}=\frac{\pi R^4 \Delta p}{8\eta L}$$ Tehát $$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi R^4 \Delta p}{8\eta L}$$
• Gömbre ható erő lassú lamináris áramlás esetén: a Stokes-képlet $${\bf F}=6\pi\eta R{\bf u}$$
• A hidrodinamika hasonlósági törvénye
  A Navier-Stokes-egyenlet dimenziótlanítása és a Reynolds-szám
  $${\bf r}=L\tilde{{\bf r}}$$ $${\bf v}=U\tilde{{\bf v}}$$ $$t=\frac{L}{U}\tilde{t}$$ $$p=\rho U^2\tilde{p}$$ A dimenziótlan változókkal a Navier-Stokes-egyenlet (ha a térfogati erő nulla): $$\frac{\partial \tilde{{\bf v}}}{\partial \tilde{t}}+(\tilde{{\bf v}}\tilde{\text{grad}})\tilde{{\bf v}}=-\tilde{\text{grad }}\tilde{p}+\frac{\nu}{UL}\tilde{\triangle} \tilde{{\bf v}}$$ Reynolds-szám: $$\text{Re}=\frac{UL}{\nu}$$
• A turbulencia megjelenése
  Lineáris stabilitásvizsgálat.
  Legyen ${\bf v}_0$ és $p_0$ a Navier-Stokes-egyenletek adott határfeltételt teljesítő egzakt megoldása. Adjunk ehhez kis perturbációt: $${\bf v}={\bf v}_0+{\bf v}_1\;,\quad p=p_0+p_1$$ A kis perturbációs tagok szerint lineáris rendben kapjuk: $$ \begin{eqnarray} \frac{\partial {\bf v}_1}{\partial t}+({\bf v}_1\cdot{\bf \nabla}){\bf v}_0+({\bf v}_0\cdot{\bf \nabla}){\bf v}_1&=&-\frac{{\bf \nabla} p_1}{\rho}+\nu\triangle {\bf v}_1\\ {\bf \nabla}\cdot{\bf v}_1&=&0 \end{eqnarray} $$ A határfeltételek ugyanazok ${\bf v}_1$-re, mint ${\bf v}_0$-ra.
  • Ha az alapmegoldás stacionárius, akkor ${\bf v}_1={\bf u}({\bf r})e^{i\omega t}$ alakú megoldások léteznek. A stabilitás feltétele, hogy $\omega$ képzetes része semelyik módusra ne legyen negatív. Instabilitás esetén a perturbáció növekszik, a nemlineáris tagok pedig stabilizálják az eredetileg instabil módust, periodikus mozgás alakul ki.
  • Ha az alapmegoldás periodikus, ${\bf v}_1={\bf u}({\bf r},t)e^{i\omega t}$, ahol ${\bf u}({\bf r},t)$ az alapmegoldás körfrekvenciájával periodikus. Az alapmegoldás körfrekvenciája és $\omega$ aránya általában irracionális (kváziperiodikusság). Instabilitás esetén a perturbáció növekszik, a nemlineáris tagok pedig stabilizálják az eredetileg instabil módust, kváziperiodikus mozgás alakul ki.
  • Ha az alapmegoldás kváziperiodikus, ${\bf v}_1$-ben ismét újabb frekvencia jelenik meg, a megoldás azonban instabilitás esetén a perturbáció növekedtével nem stabilizálódik, hanem tipikusan kaotikussá válik.
  • Nagy Reynolds-számok esetén a mozgás jellegzetes kavargó, aperiodikus, véletlenszerű: turbulens. A turbulencia kvantitatív elmélete nincs kidolgozva.
• Áramlás koncentrikus, forgó hengerek közt (Couette-Taylor-áramlás)
  
  
  • Kis Reynolds-számok esetén az áramlás mindig stabil
  • Áramlási kép nagyobb Reynolds-számok esetén:
    
    Re=177
    
    Re=506
    
    Re=3027
    
    Re=8072
    
• Henger körüli áramlás:
  
  Re=9.6
  
  Re=26
  
  Re=2000
  
  Re=10000
  
  Örvények leválása gömbről, szimuláció, Re=300
  
• Lamináris vs. turbulens áramlás