Rugalmasságtan

Deformációvektor és deformációtenzor
Rugalmas test $\bf r$ helyvektorú pontjának ${\bf u}(\bf r)$ elmozdulása a deformációvektor: $${\bf u}(\bf r)=\bf r'-\bf r\;.$$ Két közeli pont, $\bf r$ és ${\bf r}+d{\bf r}$ távolsága, $\left|d{\bf r}\right|$ megváltozik a deformáció következtében: $$\left|d{\bf r}'\right|=\left|({\bf r}+d{\bf r}+{\bf u}({\bf r}+d{\bf r})-({\bf r}+{\bf u}({\bf r}))\right|=\left|d{\bf r}+(d{\bf r}\cdot {\bf \nabla}){\bf u}\right|=\sqrt{\left(\delta_{ij}+2\epsilon_{ij}\right)dx_idx_j}$$ Deformációtenzor: $$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\frac{\partial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right)$$ Kis deformációk esetén ($|\epsilon_{ij}|\ll 1$): $$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$$ Szimmetrikus mátrix, ezért a koordinátarendszer alkalmas elforgatása esetén bármely deformáció három egymásra merőleges összenyomás vagy megnyúlás eredője (főtengelytranszformáció): $${\bf \epsilon}=\left(\begin{array}{ccc}\epsilon^{(1)}&0&0\\ 0&\epsilon^{(2)}&0\\ 0&0&\epsilon^{(3)}\\ \end{array}\right)$$ Ekkor $$\left|d{\bf r}'\right|=\sqrt{(1+2\epsilon^{(1)})dx^2+(1+2\epsilon^{(2)})dy^2+(1+2\epsilon^{(3)})dz^2}$$ Főtengelyirányú kis deformációk ($|\epsilon^{(i)}|\ll 1$):

Feszültségtenzor, Hooke-törvény, rugalmas állandók
Kis deformációk esetén a $\sigma_{ik}$ feszültségtenzor lineárisan függ az $\epsilon_{ik}$ deformációtenzortól: $$\sigma_{ik}=\lambda_{iklm}\epsilon_{lm}$$ Általános esetben a független $\lambda_{iklm}$ rugalmas együtthatók száma 21 (6 X 6 -os szimmetrikus mátrix független elemei). Izotrop anyagban csak két független együttható van: $$ \sigma_{ik}=\lambda \epsilon_{ll}\delta_{ik}+2\mu \epsilon_{ik}$$ $\lambda$: 1. Lamé-állandó, $\mu$: 2. Lamé-állandó.
Másképp (kompresszió és nyírás különválasztásával): $$ \sigma_{ik}=K \epsilon_{ll}\delta_{ik}+2\mu \left(\epsilon_{ik}-\frac{1}{3}\epsilon_{ll}\delta_{ik}\right)$$ $K$: kompressziómodulus, $\mu$: torziómodulus (2. Lamé-állandó).
Az előző kifejezéssel összehasonlítva $$\lambda=K-\frac{2}{3}\mu$$ A feszültségtenzor átlósösszege: $$\sigma_{ll}=3K \epsilon_{ll}$$ Ennek segítségével expliciten kifejezhetjük a deformációtenzort: $$\epsilon_{ik}=\frac{1}{9K}\sigma_{ll}\delta_{ik}+\frac{1}{2\mu} \left(\sigma_{ik}-\frac{1}{3}\sigma_{ll}\delta_{ik}\right)$$ Homogén deformációk:
legyen $$\sigma_{zz}=-p$$ kivételével mindegyik $\sigma_{ik}$ komponens nulla! Ez a helyzet pl. egy $z$ irányban $p$ nyomással összenyomott rugalmas hasáb esetén.
Ekkor $$\epsilon_{zz}=-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3K}+\frac{1}{\mu}\right)p$$ $$\epsilon_{xx}=\epsilon_{yy}=-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3K}-\frac{1}{2\mu}\right)p$$ A deformációtenzor többi komponense nulla.
Young-modulus ($E$): $$\epsilon_{zz}=-\frac{p}{E}$$ A fentiek szerint $$\frac{1}{E}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3K}+\frac{1}{\mu}\right)$$ vagy $$E=\frac{9K\mu}{3K+\mu}\;.$$ Poisson-szám ($\sigma$, index mélkül!): $$\epsilon_{xx}=-\sigma \epsilon_{zz}$$ A fentiek szerint $$\sigma=\frac{1}{2}\frac{3K-2\mu}{3K+\mu}$$ Mivel $K$ és $\mu$ pozitívak, $$-1\le \sigma\le \frac{1}{2}$$ (gyakorlatban $\sigma>0$ minden ismert anyagra).
A kompressziómodulus és a torziómodulus kifejezése a Young-modulussal és a Poisson-számmal:

Izotermikus és adiabatikus kompressziómodulus
Általános termodinamikai összefüggés: $$\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S=\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T+\frac{T}{C_p}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p^2$$ Ugyanis $$\left(\frac{\partial V(p,T(p,S))}{\partial p}\right)_S=\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T+\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S\;,$$ ezenkívül a termodinamika I. főtétele szerint $$dH=TdS+Vdp\;,$$ amiből $$T=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_p$$ és $$V=\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_S$$ következik, így $$\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_S=\frac{\partial^2 H}{\partial p\partial S}=\frac{\partial^2 H}{\partial S\partial p}=\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_p=\left[\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_p\right]^{-1}\;.$$ Végül $$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_p=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_p\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_p=\frac{C_p}{T}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\right]^{-1}\;.$$ Mindezeket egymásba helyettesítve megkapjuk a kívánt összefüggést. Itt $C_p$ az állandó nyomáson mért hőkapacitás.
Egyenletes összenyomás esetén $$\sigma_{ik}=-p\delta_{ik}\;,$$ a relatív térfogatváltozás pedig $\epsilon_{ll}$, így $$-\frac{1}{V}\frac{\partial V}{\partial p}=\frac{1}{K}\;.$$ Térfogati hőtágulási együttható: $$\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\alpha\;.$$ Ezeket az általános összefüggésbe beírva kapjuk a $K_{ad}$ adiabatikus kompressziómodulus és a $K$ izotermikus kompressziómodulus kapcsolatát: $$\frac{1}{K_{ad}} = \frac{1}{K}-\frac{T\alpha^2}{\rho c_p}$$ ahol $c_p$ az állandó nyomáson mért fajhő, $\rho$ pedig a sűrűség. A $\mu$ torziómodulus változatlan: $$\mu_{ad}=\mu\;.$$

Egyensúlyi egyenletek
$$\int \rho {\bf g} dV + \oint {\bf \sigma} dA =0$$ Differenciális alak: $$\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}+\rho g_i=0\;.$$ A Hooke-törvényt felhasználva $$\frac{\partial \sigma_{ik}}{\partial x_k}=\frac{E\sigma}{(1+\sigma)(1-2\sigma)} \frac{\partial \epsilon_{ll}}{\partial x_i}+\frac{E}{1+\sigma}\frac{\partial \epsilon_{ik}}{\partial x_k}$$ A deformációvektorral kifejezve: $$\frac{E}{2(1+\sigma)}\frac{\partial^2 u_{i}}{\partial x_k^2}+\frac{E\sigma}{2(1+\sigma)(1-2\sigma)}\frac{\partial^2 u_{k}}{\partial x_i\partial x_k}+\rho g_i=0\;,$$ azaz $$\triangle {\bf u}+\frac{1}{1-2\sigma}{\rm grad\; div\;} {\bf u}=-\rho {\bf g}\frac{2(1+\sigma)}{E}$$