Áramlások fizikája

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
7. Előadás

7.1. Ismétlés

• Örvénytételek
  • Általánosan érvényes: az örvénycsőbe zárt örvényfluxus adott időpontban a cső mentén állandó $$K=\int {\bf \Omega}d{\bf F}=\text{állandó a cső mentén}$$
  • Ideális, barotróp folyadékra konzervatív erőtér esetén érvényes örvénytételek:
    • Az örvénycsőbe zárt örvényfluxus időben sem változik.
    • Ideális folyadékban örvények nem keletkeznek és nem szűnnek meg.
    • Örvénycsövet alkotó folyadékrészek később is örvénycsövet alkotnak.
• Örvények keletkezése ideális folyadékban
  Oka: baroklin (nem barotróp) folyadék és/vagy nem konzervatív erőtér (Coriolis erő) $$\frac{d\Gamma_{C}}{dt}=\int{\bf B}d{\bf F}-2\Omega_0\frac{d\Sigma}{dt}$$ Itt $${\bf B}=\frac{{\rm grad} \;\rho\times {\rm grad} \;p}{\rho^2}$$ a baroklin vektor, $\Sigma$ pedig a $C$ görbének a ${\bf \Omega}_0$ szögsebesség-vektorra merőleges vetülete által határolt terület.
  • Alkalmazások:
    • Helyi felmelegedés okozta örvények (Hadley-cellák, monszun)
    • Sókoncentráció-különbség okozta örvényesség (Gibraltár, Boszporusz)
    • A Föld forgása miatt fellépő örvényesség (passzátszél, ciklonok)

7.2. Örvényes áramlás összenyomhatatlan folyadékban

• $\rho=\text{konst.}\quad \Rightarrow$ barotróp folyadék. Ha még az erőtér is konzervatív, megmarad a cirkuláció. Az örvénycsövek időben állandó örvényfluxusukkal jellemezhetők.
  A feladat: ${\bf \Omega}$ adott, ${\bf v}=?$
• Egyenletek: $$\text{div}\;{\bf v}=0$$ $$\frac{1}{2}\text{rot}\;{\bf v}={\bf \Omega}$$
• analógia a megnetosztatikával (kvázistacionárius áramok mágneses tere): $$\text{div}\;{\bf B}=0$$ $$\text{rot}\;{\bf B}=\mu_0{\bf j}$$
• Integrális alak: $$\oint {\bf v}\;d{\bf s}=2\kappa\equiv 2\int {\bf \Omega}\;d{\bf F}$$ magnetosztatikai megfelelője: $$\oint {\bf B}\;d{\bf s}=\mu_0 I=\mu_0 \int {\bf j}\;d{\bf F}$$
• Általános megoldás:
  vektorpotenciál: $${\bf v}=\text{rot}\;{\bf A}$$ kiegészítő feltétel: $$ \text{div}\;{\bf A}=0$$ Ekkor $$\text{rot}\;{\bf v}=\text{rot}\;\text{rot}\;{\bf A}=\text{drad}\;\text{div}\;{\bf A}-\triangle\;{\bf A}=-\triangle\;{\bf A}$$ Ezzel a következő Poisson-egyenlethez jutunk: $$\triangle\;{\bf A}=-2{\bf \Omega}$$ Ha ${\bf \Omega}$ a végtelenben eltűnik, akkor a megoldás $${\bf A}({\bf r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{2{\bf \Omega}({\bf r}')}{\left|{\bf r}-{\bf r}'\right|}dV'$$
• Örvényfonal körül: $${\bf A}({\bf r})=\frac{\kappa}{2\pi}\int\frac{d{\bf s}'}{\left|{\bf r}-{\bf r}'\right|}$$ Ebből a sebességtér: $${\bf v}({\bf r})=\frac{\kappa}{2\pi}\int\frac{d{\bf s}'\times ({\bf r}-{\bf r}')}{\left|{\bf r}-{\bf r}'\right|^3}$$ mint a magnetosztatikai Biot-Savart-törvény.
• Alkalmazások
  • Végtelen hosszú, egyenes örvényfonál
    Kívül: örvénymentes áramlás
    Az áramvonalak koncentrikus körök $$\oint {\bf v}d{\bf s}=v_\varphi 2\pi r = 2\kappa\quad\Rightarrow\quad v_\varphi=\frac{\kappa}{\pi}\frac{1}{r}\;,\;v_r=0$$ Síkbeli áramlás, az $r=0$ vonaltól eltekintve örvénymentes.
    Komplex potenciál: $$w=\frac{\kappa}{\pi i}\ln z$$ $$\kappa=\Gamma/2$$
    Komplex sebesség: $$\frac{dw}{dz}=v_x-i v_y=\frac{\kappa}{\pi i}\frac{1}{z}$$ $r\rightarrow 0$-ra nem értelmes, viszont véges vastagságú örvénycső sebességtere is ilyen az örvénycsövön kívül.
    Ha az örvényfonál a $z_0=x_0+i y_0$ pontban van: $$w=\frac{\kappa}{\pi i}\ln (z-z_0)$$
  • Két párhuzamos, egyenes örvényfonál $$w=\frac{\kappa_1}{\pi i}\ln (z-z_1)+\frac{\kappa_2}{\pi i}\ln (z-z_2)$$ Az örvényfonál a folyadékkal együtt mozog (örvénytétel) $\Rightarrow$ az adott örvény helyváltozását a többi örvényfonál sebességtere határozza meg.
  • Két örvény mozgása $\begin{eqnarray} \frac{dx_1}{dt}-i\frac{dy_1}{dt}\equiv \frac{dz_1^*}{dt}&=&\frac{\kappa_2}{\pi i}\frac{1}{z_1-z_2}\quad\text{és}\quad\frac{dz_2^*}{dt}&=&\frac{\kappa_1}{\pi i}\frac{1}{z_2-z_1}\\ &\uparrow&\\ &\text{sodródás}& \end{eqnarray}$ $$\Downarrow$$ $$\kappa_1\frac{dz_1^*}{dt}+\kappa_2\frac{dz_2^*}{dt}=0\;,\text{azaz}\quad \kappa_1 z_1^*+\kappa_2 z_2^*=\text{állandó}$$ Mivel $\kappa_1$ és $\kappa_2$ valós, $$\kappa_1 z_1+\kappa_2 z_2=\text{állandó}=(\kappa_1 +\kappa_2)z_c$$ $z_c$: örvényközéppont, analóg a tömegközépponttal. (Csak akkor értelmezzük, ha $\kappa_1 \ne -\kappa_2$.)
    Az örvényközéppont nyugalomban van. A két örvény a középpont körül körmozgást végez: $$v_{x1}=\frac{\kappa_2}{\pi}\frac{y_2-y_1}{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ $$v_{y1}=-\frac{\kappa_2}{\pi}\frac{x_2-x_1}{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$ Ugyanis, mint látható, a sebesség merőleges az örvényeket összekötő ${\bf r}=(x_2-x1,y_2-y_1)$ szakaszra.
    Ha $\kappa_1 +\kappa_2=0$, az örvényközéppont a végtelenben van, az örvénypár pedig egyenesvonalú egyenes mozgást végez az őket összekötő szakaszra merőleges irányban.
  • Négy örvény mozgása
  • Örvénygyűrűk
    Füstkarika
    
    Füstkarikák
    Két örvénygyűrű ütközése
  • Örvénysor (örvénylánc)
    Tekintsük a következő komplex potenciált: $$w=\frac{\kappa}{\pi i}\ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{l}z\right)\right)$$ Ha $z\rightarrow n l\;,\quad n=0,\pm 1,\pm 2,\dots$, $$w=\frac{\kappa}{\pi i}\ln\underbrace{\left[\sin\left(\pi n+\frac{\pi}{l}(z-nl)\right)\right]}_{(-1)^n\sin \frac{\pi}{l}(z-nl)\approx (-1)^n\frac{\pi}{l}(z-nl)}\rightarrow \frac{\kappa}{\pi i}\ln(z-n l)+\text{konst.}$$
    Ez örvényfonál a $z_n=n l$ pontban $\kappa$ örvényfluxussal.
    $w$ örvénysort ír le.
    A komplex sebesség $$\frac{dw}{dz}=\frac{\kappa}{l i}\text{ctg}\left(\frac{\pi}{l}z\right) =\frac{\kappa}{l}\frac{-\text{ctg}\left(\frac{\pi}{l}x\right)\text{cth}\left(\frac{\pi}{l}y\right)+i}{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{l}x\right)-i\text{cth}\left(\frac{\pi}{l}y\right)}=\underbrace{-\frac{\kappa}{l}\frac{\text{cth}\left(\frac{\pi}{l}y\right)\left(1+\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)\right)}{\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)+\text{cth}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)}}_{v_x}-i\underbrace{\frac{\kappa}{l}\frac{\text{ctg}\left(\frac{\pi}{l}x\right)\left(\text{cth}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)-1\right)}{\text{ctg}^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)+\text{cth}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)}}_{v_y}$$ $y=0$-ra $v_x=0$, tehát az örvénysor nem mozog, stacionárius alakzat (de nem stabil).
    Áramlási függvény: $$\Psi=-\frac{\kappa}{\pi}\text{Re}\ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{l}z\right)\right)=-\frac{\kappa}{\pi}\ln\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)\text{ch}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)\text{sh}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)\right]^{1/2}=-\frac{\kappa}{2\pi}\ln\left[\sin^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)+\text{sh}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)\right]$$ Áramvonalak: $$\sin^2\left(\frac{\pi}{l}x\right)+\text{sh}^2\left(\frac{\pi}{l}y\right)=C$$
    Zártak, amíg $C < 1$
    Nyitottak, ha $C > 1$
    A határgörbe (szeparátrix): $C=1$ $$\left|\cos\left(\frac{\pi}{l}x\right)\right|=\left|\text{sh}\left(\frac{\pi}{l}y\right)\right|$$
    Az örvénysortól végtelen távol a sebesség $x$ irányú és $$v_x(y=\pm \infty)=\mp \frac{\kappa}{l}$$
  • Kármán-féle örvényút
    Két $l/2$-vel eltolt, ellenkező irányban forgó örvénysor.
    Önmagában egyik örvénylánc sem mozogna. Együtt $-x$ irányban eltolódik mindkettő. A sebesség $$v=-\frac{\kappa}{l}\text{th}\left(\frac{\pi}{l}c\right)$$ ahol $c$ a két örvénylánc távolsága.
    Hasonló alakzat képződik a folyadékban mozgó tárgyak mögött. Van olyan $c/l$ arány, melyre az örvényút stabil.
    
    
    
    
  • Örvényréteg
    Az örvényeket sűrítjük egy egyenes mentén ($x$-tengely), $l\rightarrow 0$ úgy, hogy az egységnyi hosszra es örvényesség állandó legyen: $\kappa/l=\text{konst.}$.
    Sebességtér: integrális alak: $$\oint {\bf v}d{\bf s}=2\kappa$$ ${\bf v}$ párhuzamos az egyenessel, emiatt $$2Lv=2\frac{\kappa}{l} L\quad\rightarrow\quad v=\frac{\kappa}{l}$$ Az örvényréteg érintőleges szakadási felületet képez (az sebesség az örvényrétegen átlépve előjelet vált). Nem stabil. V.ö.: ciklon keletkezés.