Áramlások fizikája

Bene Gyula
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Elméleti Fizikai Tanszék
1117 Budapest, Pázmány Péter sétány 1/A
8. Előadás

8.1. Ismétlés

Örvényes áramlás összenyomhatatlan folyadékban
• Örvényfonál sebességtere: $${\bf v}({\bf r})=\frac{\kappa}{2\pi}\int\frac{d{\bf s}'\times ({\bf r}-{\bf r}')}{\left|{\bf r}-{\bf r}'\right|^3}$$
• Végtelen, egyenes örvényfonál
• Két örvényfonál mozgása
• Négy örvényfonál mozgása
• Örvénysor sebességtere
• Két, párhuzamos örvénysor mozgása: Kármán-féle örvényút
• Örvényréteg sebességtere

8.2. Hullámok ideális folyadékban. Hanghullámok

Összenyomható folyadék. Egyensúlyban $\rho_0$, $p_0$ jellemzik (termikus egyensúly).
Olyan mozgásokat vizsgálunk, melyekre ${\bf f}=0$ és ${\bf v}$, $\rho'=\rho- \rho_0$, $p'=p-p_0$ mindegyike kicsi (kis rezgés).

$\large \begin{eqnarray} \left.\begin{array}{l} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\text{div}(\rho{\bf v})=0\\ \frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+({\bf v}\text{grad}){\bf v}=-\frac{1}{\rho}\text{grad}\;p\\ \frac{\partial s}{\partial t}+({\bf v}\text{grad})s=0 \end{array}\right.\quad\text{kis változások }\Rightarrow \left.\begin{array}{l} \frac{\partial \rho'}{\partial t}+\rho_0\text{div}\;{\bf v}=0\\ \frac{\partial {\bf v}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho_0}\text{grad}\;p'\\ \frac{\partial s}{\partial t}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray} $
Lineáris egyenletek.
Az entrópiasűrűség ($s$) mindenütt állandó, ezért egyértelmű kapcsolat van $p'$ és $\rho'$ között: $$p'=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\rho'\quad\quad \left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_s=-\frac{m}{V^2}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_s=\frac{m}{V}\kappa_s=\rho_0\kappa_s>0$$ Itt $\kappa_s=-\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_s $ az adiabatikus kompresszibilitás.
$\rho'$ és ${\bf v}$ egyenletéből $ \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}+\rho_0\text{div}\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}&=&\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}-\triangle p'=\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}-\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\triangle\rho'=0\\ &\Downarrow&\\ \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}-c^2\triangle\rho'&=&0\;,\quad c^2=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s=\frac{1}{\rho_0\kappa_s} \end{eqnarray} $
$0^{\;\circ}$C-on

• levegőben $c=331 \frac{m}{s}$
• vízben $c=1441 \frac{m}{s}$

$ \begin{eqnarray} \begin{array}{c|c|c|c|c} &\text{20 Hz}&&\text{16 kHz}&\\ \text{infrahang}&|&\text{hallható hang}&|&\text{ultrahang} \end{array} \end{eqnarray} $
A sűrűség- és nyomásingadozás egyaránt kielégíti a hullámegyenletet.
Az Euler-egyenlet ${\bf v}$ és $p'$-re olyan, mint örvénymentes áramlásra: $$\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho_0}\text{grad}\;p'\quad\rightarrow\quad \frac{\partial }{\partial t}\text{rot}\;{\bf v}=0$$
Mivel kezdetben $\text{rot}\;{\bf v}=0$, később is $\text{rot}\;{\bf v}=0$. $${\bf v}=\text{grad}\;\Phi$$ $$\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+\frac{1}{\rho_0}\text{grad}\;p'=\text{grad}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\frac{p'}{\rho_0}\right)=0$$
Az integrációs konstanst $\Phi$-be beolvasztva $$p'=-\rho_0\frac{\partial \Phi}{\partial t}$$ $$\frac{\partial \rho'}{\partial t}=\frac{1}{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s}\frac{\partial p'}{\partial t}=-\frac{\rho_0}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}=-\rho_0\text{div}\;{\bf v}=-\rho_0\triangle \Phi$$ $$\frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}-c^2\triangle \Phi=0$$ Ebből az következik (az egyenlet gradiensét véve), hogy minden sebességkomponens is ugyanazt a hullámegyenletet elégíti ki: $$\frac{\partial^2 {\bf v}}{\partial t^2}-c^2\triangle {\bf v}=0$$
A hang tehát sűrűség-, nyomás-, sebesség-hullám, sőt, mivel $T'=T-T_0=\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_sp'$, hőmérséklet-hullám is.
Síkhullámok. A $+x$ irányban haladó hullám $$\Phi=f(x-ct)$$ Itt $f$ tetszőleges egyváltozós függvény. $$v_x=f'(x-ct)\;,\quad v_y=v_z=0$$ Longitudinális hullám. $$p'=\rho_0c f'(x-ct)\;,\quad \rho'=\frac{\rho_0}{c} f'(x-ct)\;,\quad p'=c^2\rho'$$ A linearizálás feltétele: $\frac{v_x}{c}=\frac{\rho'}{\rho_0}\ll 1$.
Monokromatikus síkhullám: $$\Phi=\text{Re}\left(A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-\omega t)}\right)\;,\quad {\bf k}=\frac{\omega}{c}{\bf n}$$ Itt ${\bf n}$ a terjedési irány, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ a hullámszám, $\lambda$ a hullámhossz, $\omega=2\pi \nu$ a körfrekvencia, $\nu$ a frekvencia. $$c=\nu\lambda\;,\quad \omega=kc$$ Ezek az összefüggések csak nyugvó közegben érvényesek.

8.3. Hangterjedés mozgó közegben
K koordinátarendszer: homogén folyadékáramlás ${\bf u}$ sebességgel.
K' koordinátarendszer: a folyadék nyugalomban van $${\bf r}={\bf u}t+{\bf r}'$$

Zavar: a közeget az egyensúlyból kimozdító fizikai hatás, pl. nyomásváltozás.
• A K' rendszerben a zavar minden irányban $c$ sebességgel terjed. A K rendszerben a zavar terjedési sebessége ${\bf n}$ irányban $${\bf u}+c{\bf n}$$ Az áramlás elsodorja a zavart.
• Az O pontban keltett zavar által elérhető tartomány egységnyi idő alatt:
  $u< c$: Gömb belseje
  $u> c$: $2\alpha$ nyílásszögű kúp belseje, ahol $\sin \alpha=\frac{c}{u}$ a Mach-szám.
• Doppler-jelenség:
  A K'rendszerben: $$\Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega' t)}\;,\;\omega'=ck$$
  A K rendszerben: $${\bf r}'={\bf r}-{\bf u}t\;,\quad \Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega' t)}=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-(\omega'+{\bf k}{\bf u}) t)}\;,\;\omega=\omega'+{\bf k}{\bf u}=\omega'\left(1+\frac{{\bf u}{\bf n}}{c}\right)=\omega'\left(1+\frac{u}{c}\cos\theta\right)$$ A felénk fújt hang magasabb ($\cos\theta=1$), a tőlünk fújt hang mélyebb ($\cos\theta=-1$).

8.4. Mozgó hangforrás nyugvó közegben

A forrás ${\bf u}$ sebességgel mozog.
A kibocsátott hang által elért tartomány szuperszónikus mozgás esetén $2\alpha$ nyílásszögű kúp belseje. A forrással együttmozgó K' rendszerben a folyadék $-{\bf u}$ sebességgel mozog. A frekvencia itt $\omega_0$. Az álló K rendszerben izotróp a hangterjedés (mivel a folyadék nyugalomban van), de nem $\omega_0$ a frekvencia.

A K'rendszerben: $$\Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega_0 t)}$$
A K rendszerben: $${\bf r}'={\bf r}-{\bf u}t\;,\quad \Phi=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}'-\omega_0 t)}=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-(\omega_0+{\bf k}{\bf u}) t)}=A\text{e}^{i({\bf k}{\bf r}-\omega t)}\;,\quad \omega=ck$$ $$\omega=\omega_0+{\bf k}{\bf u}=\omega_0+\omega\frac{{\bf u}{\bf n}}{c}\quad\Rightarrow\quad \omega=\frac{\omega_0}{1-\frac{u}{c}\cos\theta}$$ A közeledő hangforrás magasabb, a távolodó alacsonyabb hangot ad.

8.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?

${\bf f}=0$. Bernoulli-egyenlet: $$\frac{v^2}{2}+\int_{p_0}^p\frac{dp}{\rho(p)}=0$$ Ha a folyadék kissé összenyomható, $$\rho(p)\approx \underbrace{\rho(p_0)}_{\rho_0}+\underbrace{\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_s}_{\rho_0\kappa_s}(p-p_0)=\rho_0\left(1+\kappa_s(p-p_0)\right)$$ $$\frac{1}{\rho(p)}=\frac{1}{\rho_0}\left(1-\kappa_s(p-p_0)\right)$$ $$\Downarrow$$ $$\frac{v^2}{2}+\frac{1}{\rho_0}(p-p_0)-\frac{1}{2}\frac{\kappa_s}{\rho_0}(p-p_0)^2=0$$ Ha az utolsó tag elhanyagolható, akkor tekinthető összenyomhatatlannak a folyadék: $$\frac{1}{2}\frac{\kappa_s}{\rho_0}(p-p_0)^2\ll \frac{v^2}{2}$$
Mivel ilyenkor $p-p_0\approx -\frac{\rho_0}{2}v^2$, ezzel az összenyomhatatlanság feltétele $$\frac{1}{8}\kappa_s\rho_0 v^4\ll \frac{v^2}{2}$$ azaz, mivel $\kappa_s\rho_0 =1/c^2$, $$\frac{1}{8}\frac{v^4}{c^2}\ll \frac{v^2}{2}$$ vagy $$\frac{1}{4}\frac{v^2}{c^2}\ll 1$$

8.6. Hangkeltés. Hangterjedés, visszaverődés és törés.

• Hangkeltés
  
  Az elektrodinamikából ismeretes, hogy a hullámegyenlet megoldása a forrástól nagy távolságban $$\Phi({\bf r},t)=\text{div}\frac{{\bf P}\left(t-\frac{r}{c}\right)}{r}$$ alakú, ahol ${\bf P}(t)$ a forrásra jellemző mennyiség (a dipólnyomaték). A $c\rightarrow\infty$ határeset az összenyomhatatlan folyadéknak felel meg, ezért ${\bf P}(t)$ az a mennyiség, amely ilyenkor megjelenik a forrásként szereplő test körüli áramlást leíró sebességpotenciálban nagy $r$-re. $\Phi({\bf r},t)$ ilyenkor mindig $\text{div}{\bf P}(t)/r$ alakú, hacsak a test nem pulzál. ${\bf P}$ a test sebességével lesz arányos, gömbre pl. ${\bf P}(t)=\frac{1}{2}R^3{\bf v}_0(t)$. A hullámzónában ($r\gg \lambda$) elég a számlálót deriválni (egyéb tagok $1/r$-nél gyorsabban tartanak nullához), így $\begin{eqnarray} \Phi( {\bf r} ,t)=-\frac{\dot{{\bf P}} \left(t-\frac{r}{c}\right) {\bf n} }{cr} \end{eqnarray}$ és $${\bf v}=\text{grad}\; \Phi=\frac{\ddot{ {\bf P}}\left(t-\frac{r}{c}\right){\bf n}}{c^2r}{\bf n}$$ Energiaáram-sűrűség: $cE{\bf n}$, ahol síkhullámra $E=\rho_0v^2$.
  A kisugárzott intenzitás $$I=\int c\rho_0\underbrace{\overline{v^2}}_{\text{időátlag}}{\bf n}d{\bf F}\underbrace{=}_{\text{gömbre}}\frac{2\pi\rho_0}{c^3}\overline{\ddot P^2}\int_0^\pi \cos^2\vartheta\sin\vartheta d\vartheta=\frac{4\pi\rho_0}{3c^3}\overline{\ddot P^2}$$ Mivel $P\propto v_0$, harmonikus rezgés esetén $I\propto\omega^4$.
  Gömbre pl. $$I=\frac{\pi\rho_0 R^6}{3c^3}v_0^2\omega^4$$
  Henger esetén (a henger egységnyi hosszára vonatkoztatva) $$I=\frac{\pi^2\rho_0 R^4}{4c^2}v_0^2\omega^3$$
• Hangterjedés
  • A hőmérséklet, és ezzel együtt $c$ felfelé növekszik:
    Teljes visszaverődés, nagy távolságban hallani a hangot.
  • A hőmérséklet, és ezzel együtt $c$ felfelé csökken:
    A hang nem hallható.
  • A magas hangok messziről nem hallhatók (erősebb a csillapodásuk).
• Visszaverődés és törés $$\vartheta=\vartheta'$$ $$\frac{\sin\vartheta''}{\sin\vartheta}=\frac{c_2}{c_1}$$ $\vartheta$ : beesési szög, $\vartheta'$ : visszaverődési szög, $\vartheta''$ : törési szög.
• Szórás
  Kis test által szórt hang teljes szórási hatáskeresztmetszete a hang frekvenciájának negyedik hatványával arányos.