Állapot és mozgásegyenlet

A klasszikus mechanikában egy fizikai rendszer adott pillanatbeli állapotán a rendszert alkotó tömegpontok koordinátáinak és sebességeinek összességét értjük, melyekből a mozgásegyenletek segítségével lehet (zárt rendszer esetén) a későbbi állapotot meghatározni. A kvantummechanikában ezzel szemben az állapot az absztrakt Hilbert-tér egy eleme.⁶ Jelöljük ezt $\vert\psi>$-vel⁷. A mozgásegyenlet a (zárt rendszerre érvényes) Schrödinger-egyenlet,

$$i\hbar\frac{\partial \vert\psi>}{\partial t}=\hat H \vert\psi>\;.$$ (1)

A fizikai mennyiségeknek a kvantummechanikában önadjungált lineáris operátorok⁸ felelnek meg. Az (1) Schrödinger-egyenletben szereplő $\hat H$ operátor az energia operátora (más néven a Hamilton-operátor). Egy részrendszer állapotát a kvantummechanikában rendszerint nem lehet állapotvektorral jellemezni, ehelyett az állapot jellemzésére a sűrűségmátrix használható. A $\hat \rho^{S_1}$ sűrűségmátrix az $S_1$ részrendszer Hilbert-terén ható lineáris, önadjungált, pozitív szemidefinit operátor, definíciója

$$\hat \rho^{S_1}= {\rm Tr_{S_2}} \vert\psi><\psi\vert \equiv \sum_j <\varphi_j\vert\psi><\psi\vert\varphi_j>\;,$$ (2)

ahol $S_2=S\setminus S_1$ az $S_1$ rendszer komplementer rendszere, a $\vert\varphi_j>$ állapotok pedig teljes, ortonormált rendszert⁹ képeznek $S_2$ Hilbert-terében. (A ${\rm Tr_{S_2}}$ (``trace''=''nyom'') műveletet a második egyenlőség definiálja, szemléletesen az $S_2$ rendszer állapotaira való kiátlagolásról van szó.) A sűrűségmátrix jelenti a kvantummechanikában az állapotleírás legáltalánosabb módját. Speciálisan, ha a rendszernek van $\vert\xi>$ hullámfüggvénye, akkor

$$\hat \rho^{S_1}= \vert\xi><\xi\vert\;.$$ (3)

Ilyenkor azt mondjuk, hogy az $S_1$ rendszer tiszta állapotban van.

Ha az $S_1$ rendszer a $\vert\xi>$ tiszta állapotban van, az $S_2$ rendszer pedig a $\vert\varphi>$ tiszta állapotban van, akkor a két rendszer együttese, az $S=S_1+S_2$ rendszer a $\vert\xi>\otimes\vert\varphi>$ tiszta állapotban van. Itt a $\otimes$ az ún. direkt szorzat jele.¹⁰ Két diszjunkt rendszer egyesítésekor az egyesített rendszer Hilbert-tere az első ill. a második alrendszer állapotainak direkt szorzataiból épül fel.