Teljesen kifejlett káosz. Valószínűségeloszlás. Ergodicitás. Konjugálás.Mindenütt nyújtó leképezések.

A logisztikus leképezés $r=4$ esetén koordinátatranszformációval (ún. sima konjugálás) szakaszonként lineáris alakra hozható (``háztető-leképezés''):

$$y=\frac{2}{\pi}\arcsin(\sqrt{x})$$

$$x=\sin^2\left(y\frac{\pi}{2}\right)$$

$$y_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}2y_n&y_n\le 0.5 2(1-y_n)&y_n\ge 0.5\end{array}\right.$$

Mivel a meredekség abszolút értéke állandó, a Ljapunov-exponens nyilvánvalóan $\ln 2>0$.

Ábra: Háztető-leképezés

Ábra 19.: Bernoulli-shift

Bernoulli-shift.

$$x_n = 0.1100111100101110101...$$

$$x_{n+1} = 0.100111100101110101...$$

$n$ időegység elteltével az $n+1$-edik jegy határozza meg, hogy az iterált pont nagyobb vagy kisebb, mint $1/2$. Ha tehát ezt a jelen állapot ($x_0$) ismerete alapján kívánjuk megjósolni, $2^{-(n+1)}$ pontosság szükséges. Ha ez nem áll rendelkezésre, a mozgás megjósolhatatlannak, véletlenszerűnek tűnik (mert az állapot ismeretlen finom részletei határozzák meg - v.ö. ``pillangó-effektus'').

Következtetés: a kaotikus rendszerek belső instabilitása, a kezdeti feltételre való exponenciális érzékenysége gyakorlatilag meghiúsítja a fizikában szokásos előrejelzési sémát (véges pontosságú kezdőállapot $\rightarrow$ mozgásegyenletek megoldása $\rightarrow$ véges, de még kielégítő pontosságú végállapot). Hosszabb időre egy kaotikus rendszer mozgásáról csak valószínűségi kijelentések tehetők.

Valószínűségi leírás ($P(x)$ valószínűségsűrűség, $\mu(x)$ valószínűségi mérték. Frobenius-Perron-egyenlet.)

A kaotikus rendszer (jelen esetben egydimenziós leképezés) pályáját hosszú ideig követve megvizsgáljuk, hogy a fázistér valamely kiválasztott tartományában a teljes idő hányad részét tölti a rendszer. Ezt a számot tekintjük az ott-tartózkodás valószínűségének.

Valószínűségi mérték: $\mu(x)$ annak a valószínűsége, hogy az iterált pont $x$-nél nem nagyobb.

$$\mu(x)=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \Theta(x-x_j)$$

Valószínűségsűrűség: $P(x)dx$ annak a valószínűsége, hogy az iterált pont $x$ és $x+dx$ között tartózkodik.

$$P(x)dx =lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \delta(x-x_j)dx$$

$$P(x)=\frac{d\mu(x)}{dx}$$

A Frobenius-Perron-egyenlet:

Ábra: A Frobenius-Perron-egyenlet levezetése: a függőleges tengelyen jelzett intervallumban tartózkodás valószínűsége a vízszintes intervallumokban való tartózkodás valószínűségeinek összege.

$$P(x)dx=P(f^{-1}_l(x))\frac{dx}{\left\vert f'\left(f^{-1}_l(x)... ...(x))\frac{dx}{\left\vert f'\left(f^{-1}_u(x)\right)\right\vert}$$

$$P(x)=\frac{P(f^{-1}_l(x))}{\left\vert f'\left(f^{-1}_l(x)\rig... ...f^{-1}_u(x))}{\left\vert f'\left(f^{-1}_u(x)\right)\right\vert}$$

Példa: mind a háztető-leképezés, mind a Bernoulli-shift esetén $\vert f'(x)\vert=2$, ezért a Frobenius-Perron-egyenlet:

$$P(x)=\frac{1}{2}\left(P(f^{-1}_l(x))+P(f^{-1}_u(x))\right)$$

Ennek megoldása $P(x)=1$ (konstans valószínűségsűrűség, minden $x$ (0 és 1 között) egyformán valószínű.

Sima konjugálás (koordinátatranszformáció) hatása a valószínűségsűrűségre:

$$y_n=u(x_n)$$

$$\tilde P(y)dy=P(x)dx$$

$$\tilde P(y)=\frac{P(u^{-1}(y)}{\left\vert u'\left(u^{-1}(y)\right)\right\vert}$$

vagy

$$P(x)=\tilde P(u(x))\vert u'(x)\vert$$

Példa: logisztikus leképezés. $u(x)=\frac{2}{\pi}\arcsin(\sqrt{x})$, $\tilde P(y)=1$. Ezért

$$P_{logisztikus}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}$$

Ábra: A logisztikus leképezés stacionárius valószínűségsűrűsége $r=4$ esetén (teljesen kifejlett káosz).

A Ljapunov-exponens kifejezése a stacionárius valószínűségsűrűséggel:

$$\lambda = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n\ln\left\vert f'(r,x_j)\right\vert$$

$$= \int dx \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n\delta(x-x_j)\ln\left\vert f'(r,x)\right\vert$$

$$= \int dx P(x) \ln\left\vert f'(r,x)\right\vert$$

A Ljapunov-exponens nem változik sima konjugálás esetén:

$$y=u(x)$$

$$g(y)=u(f(u^{-1}(y)))$$

$$g'(y)=u'(f(u^{-1}(y)))f'(u^{-1}(y))\left(u^{-1}(y)\right)'=\frac{u'(f(u^{-1}(y)))}{u'(u^{-1}(y))}f'(u^{-1}(y))$$

$$g'(y_n)=\frac{u'(x_{n+1})}{u'(x_n)}f'(x_n)$$

$$\ln\left\vert g'(y_n)\right\vert=\ln\left\vert f'(x_n)\right\... ...ft\vert u'(x_{n+1})\right\vert-\ln\left\vert u'(x_n)\right\vert$$

$$\lambda = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n\ln\left\vert g'(r,y_j)\right\vert$$

$$= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n\ln\left\vert f'(r,x_j)\right\vert$$

$$+ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} \left(\ln\left\vert u'(x_{n+1})\right\vert-\ln\left\vert u'(x_0)\right\vert\right)$$

$$= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n\ln\left\vert f'(r,x_j)\right\vert$$

Feladat: mutassuk meg a Ljapunov-exponens sima konjugálásra vonatkozó invarianciáját a valószínűségsűrűséggel felírt alakból kiindulva!