Sima maximumú egydimenziós leképezések. Negatív Schwarz-derivált. Példa: logisztikus leképezés. A paraméterfüggés

• Egyetlen, sima maximummal rendelkező leképezések
• $\vert f'(x)\vert^{-\frac{1}{2}}$ konvex, másképpen: a Schwarz-derivált negatív

  Schwarz-derivált:
  

  $$(\hat S f)(x)=-2 \vert f'(x)\vert^{\frac{1}{2}}\frac{d^2}{dx^... ...{f'''(x)}{f'(x)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(x)}{f'(x)}\right)^2$$
  
  

• Példa: logisztikus leképezés:
  
  $$x_{n+1}=r\;x_n\;(1-x_n)\;,\quad x_n\in [0,1]$$
  
  
  vagy másképp:
  
  $$y_{n+1}=1-a\;y_n^2\;,\quad y_n\in [-1,1]$$
  
  

  Megjegyzés: $y_n=\frac{4}{r-2}\left(x_n-\frac{1}{2}\right)$ és $4a=r(r-2)$.

• A Schwarz-derivált tulajdonságai
  • 
    
    $$\hat S f\circ g=(\hat S f)(g)(g')^2+\hat S g$$
    
    
    Ui.:
    
    $$f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)$$
    
    
    
    
    $$f(g(x))''=f''(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)$$
    
    
    
    
    $$f(g(x))'''=f'''(g(x))(g'(x))^3+3f''(g(x))g'(x)g''(x)+f'(g(x))g'''(x)$$
    
    
    
    

    $$\frac{f(g(x))'''}{f(g(x))'}=\frac{f'''(g(x))(g'(x))^3+3f''(g(x))g'(x)g''(x)+f'(g(x))g'''(x)}{f'(g(x))g'(x)}$$

    $$=\frac{f'''(g(x))}{f'(g(x))}(g'(x))^2+3\frac{f''(g(x))g''(x)}{f'(g(x))} +\frac{g'''(x)}{g'(x)}$$

    $$\frac{3}{2}\left(\frac{f(g(x))''}{f(g(x))'}\right)^2= \frac{3}{2}\left(\frac{f''(g(x))g'(x)}{f'(g(x))}+\frac{g''(x)}{g'(x)}\right)^2$$

    $$=\frac{3}{2}\left(\frac{f''(g(x))}{f'(g(x))}\right)^2(g'(x))^2 +3\frac{f''(g(x))g''(x)}{f'(g(x))}+\frac{3}{2}\left(\frac{g''(x)}{g'(x)}\right)^2$$

    
    

  • Feladat: bizonyítsuk be, hogy ha $f(x)$ olyan legalább másodfokú polinom, melynek minden gyöke valós, akkor $\hat S f<0$!
  • Tétel: Ha a leképezés Schwarz-deriváltja negatív, legfeljebb egy stabil periodikus pálya létezhet.
  • Tétel: Ha a leképezés Schwarz-deriváltja negatív, és létezik stabil periodikus pálya, akkor egy nullmértékű halmaz kivételével minden pont a stabil periodikus pályához konvergál.
  • Tétel: Ha a leképezés Schwarz-deriváltja negatív, és létezik stabil periodikus pálya, akkor a maximum képei a stabil periodikus pályához konvergálnak.