next up previous
Next: Hasonlóság. Szuperstabilitás. , . Up: Egydimenziós leképezések Previous: Sima maximumú egydimenziós leképezések.

Perióduskettőző bifurkációk

Ábra: A logisztikus leképezés bifurkációs diagramja $r_\infty $ alatt.
\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{bif1.eps} \end{center} \end{figure}
Legyen $x=x^*$ az $f(r,x)$ leképezés marginálisan stabil fixpontja (valamilyen rögzített $r=r_1$ értékre) úgy, hogy

\begin{displaymath}f'(x^*)=-1\end{displaymath}

Ekkor

\begin{displaymath}(f^{[2]})'(x^*)=f'(f(x^*))f'(x^*)=1\end{displaymath}


\begin{displaymath}(f^{[2]})''(x^*)=f''(f(x^*))\left(f'(x^*)\right)^2+f'(f(x^*))f''(x^*)=0\end{displaymath}


\begin{displaymath}(f^{[2]})'''(x^*)=f'''(f(x^*))\left(f'(x^*)\right)^3+3f''(f(x^*))f'(x^*)f''(x^*)+f'(f(x^*))f'(x^*)f''(x^*)=2(\hat S f)(x^*)\end{displaymath}

Negatív Schwarz-derivált esetén tehát a második iterált alakja $r=r_1$-ben:
Ábra: Perióduskettőző bifurkáció: marginálisan instabil fixpont környezete. (Logisztikus leképezés második iteráltja $r=3$ esetén)
\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{fig7.eps} \end{center} \end{figure}

Ábra: Perióduskettőző bifurkáció. (Logisztikus leképezés második iteráltja $r=2.8$ esetén)
\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{fig8.eps} \end{center} \end{figure}

Ábra: Perióduskettőző bifurkáció. (Logisztikus leképezés második iteráltja $r=3.1$ esetén)
\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{fig9.eps} \end{center} \end{figure}

Bene Gyula 2004-05-10