Hasonlóság. Szuperstabilitás. $\delta$, $\alpha$. Renormálás. Univerzalitás.

Szuperstabilitás: bizonyos kontrollparaméter-értékeknél az $x_{max}$ maximumhely a határciklushoz tartozik. (A logisztikus leképezés esetén $x_{max}=\frac{1}{2}$.) Mivel a sima maximumban a derivált eltűnik, a ciklus stabilitását jellemző $\Pi_{i=1}^p \vert f'(x^{(p)}_i)\vert$ szorzat nulla.

Stabilitási intervallumok a perióduskettőződéseknél: a $2^k$ periódusú határciklus stabil az

$$[r_{k-1},r_k]$$

kontrollparaméter-intervallumban. Ezen belül a $2^k$ periódusú szuperstabil határciklushoz tartozó kontrollparamétert $\rho_k$-val jelöljük.

Hasonlóság és univerzalitás:

Ábra: Hasonlóság: a logisztikus leképezés bifurkációs diagramja kétszer logaritmikus skálán.

• A perióduskettőződés stabilitási intervallumainak hossza geometriai sorozat szerint tart nullához:
  
  $$\delta=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\left\vert r_{k}-r_{k-1}\right\vert}{\left\vert r_{k+1}-r_k\right\vert}=4.6692016...$$
  
  
  A $\delta$ Feigenbaum-állandó a négyzetes maximumú leképezések osztályán univerzális, vagyis a leképezés konkrét alakjától függetlenül ugyanaz az értéke.
• A szuperstabilitás kontrollparaméter-értékeinél összehasonlítva a bifurkációs villák szélességét, azok is univerzális kvóciensű geometriai sorozat szerint tartanak a nullához:
  
  $$\alpha=\lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\left\vert f^{\left[2... ...\right]}(\rho_{k+1},x_{max})-x_{max}\right\vert}=2.502907875...$$
  
  
  Az $\alpha$ Feigenbaum-állandó a négyzetes maximumú leképezések osztályán univerzális, vagyis a leképezés konkrét alakjától függetlenül ugyanaz az értéke.

Univerzális függvények:

Ábra: Hasonlóság. (A logisztikus leképezés iteráltjai a szuperstabil pontokban.)

Ábra: Hasonlóság. (A logisztikus leképezés iteráltjai a szuperstabil pontokban, átskálázva.)

$$g_0(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^k \left[f^{\left[... ...eft(\rho_k,x_{max} +\frac{x}{(-\alpha)^k}\right)-x_{max}\right]$$

A $g_0(x)$ leképezésnek szuperstabil fixpontja van.

$$g_1(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^k \left[f^{\left[... ...\rho_{k+1},x_{max} +\frac{x}{(-\alpha)^k}\right)-x_{max}\right]$$

A $g_1(x)$ leképezésnek $2$ periódusú szuperstabil határciklusa van.

$$g_i(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^k \left[f^{\left[... ...\rho_{k+i},x_{max} +\frac{x}{(-\alpha)^k}\right)-x_{max}\right]$$

A $g_i(x)$ leképezésnek $2^i$ periódusú szuperstabil határciklusa van.

Az egyszerűség kedvéért térjünk át az $f(r,x)$ leképezésről az

$$F(r,x)=f(r,x+x_{max})-x_{max}$$

leképezésre az $x\rightarrow x-x_{max}$ koordinátatranszformációval. Az $F(r,x)$ leképezés maximumhelye $x=0$-nál van. Emiatt

$$g_0(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^k F^{\left[2^{k}\right]}\left(\rho_k, \frac{x}{(-\alpha)^k}\right)$$

$$g_1(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^k F^{\left[2^{k}\right]}\left(\rho_{k+1}, \frac{x}{(-\alpha)^k}\right)$$

$$g_i(x)=\lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^k F^{\left[2^{k}\right]}\left(\rho_{k+i}, \frac{x}{(-\alpha)^k}\right)$$

Renormálási transzformáció: A definícióból következően

$$g_i(x) = \lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha)^{(k+1)} F^{\left[2^{k+1}\right]}\left(\rho_{k+1+i}, \frac{x}{(-\alpha)^{(k+1)}}\right)$$

$$= \lim_{k\rightarrow \infty} (-\alpha) (-\alpha)^{k} F^{\left[2^{k}... ...k+i+1}, \frac{\frac{x}{(-\alpha)}}{(-\alpha)^{k}}\right)}{(-\alpha)^{k}}\right)$$

$$= (-\alpha) g_{i+1}\left[g_{i+1}\left[\frac{x}{(-\alpha)}\right]\right]$$ (1)

$i\rightarrow \infty$ esetén a renormálási transzformáció fixpontját kapjuk (ez nem szám, hanem egy függvény!):

$$h(x)=\lim_{i\rightarrow \infty} g_i(x)$$

$$h(x)=(-\alpha) h\left[h\left[\frac{x}{(-\alpha)}\right]\right]$$

Ha előírjuk, hogy $\vert x\vert«1$ esetén $h(x)=1-(const.)\times x^2+o(x^2)$ (négyzetes maximum követelménye), akkor a renormálási transzformáció fixpontegyenlete mind $\alpha$-t, mind $h(x)$-et meghatározza. Ez az univerzalitás kifejeződése: az eredeti leképezés konkrét függvényalakja nem befolyásolja pl. $\alpha$ értékét, csak a maximum környéki viselkedés számít.

- Feladat: Közelítsük a $h(x)$ fixpontfüggvényt másodfokú, negyedfokú etc. polinomokkal és a fixpontegyenlet két oldalán az azonos hatványokat egyenlővé téve határozzuk meg a polinom együtthatóit és az $\alpha$ Feigenbaum-állandót!

Tekintsük most a

$$H(t, x)=h(x)+t\phi(x)$$

leképezést. A $t$ mennyiség a kontrollparaméter, $t=0$ felel meg a perióduskettőző bifurkációk torlódási pontjának, hiszen $h(x)$ a végtelen periódusú szuperstabil határciklus univerzális függvénye. A $\phi(x)$ függvényt később konkretizáljuk.A $t$ kontrollparaméterrel alkalmas módon nullához tartva a $H(t, x)$ leképezés stabil határciklusai is perióduskettőző bifurkációk sorozatán mennek keresztül. A szuperstabil pontokat $\tau_i$-vel jelöljük. A renormálási transzformációt a $H(\tau_{i+1}, x)$ függvényre alkalmazva $i»1$ esetén azt kapjuk, hogy

$$(-\alpha) H\left[\tau_{i+1},H\left[\tau_{i+1},\frac{x}{(-\alpha)}\right]\right]\approx h(x) +\tau_{i+1}\hat L(\phi)(x)\;,$$

ahol $\hat L$ a linearizált renormálási transzformáció, expliciten a következő lineáris operátor:

$$\hat L(\phi)(x)=(-\alpha) \phi\left[h\left[\frac{x}{(-\alpha)... ...x}{(-\alpha)}\right]\right]\phi\left[\frac{x}{(-\alpha)}\right]$$

Mivel a $H(\tau_{i+1}, x)$ leképezésnek $2^{i+1}$ periódusú szuperstabil határciklusa van, a renormálási transzformáció eredményeként kapott leképezésnek $2^i$ periódusú szuperstabil határciklusa van. Alkalmas $\phi(x)$ függvény esetén ez azonos lesz a $H(\tau_{i}, x)$ leképezéssel. Matematikailag ez azt jelenti, hogy

$$\hat L(\phi)(x)=\frac{\tau_{i}}{\tau_{i+1}}\phi(x)$$

Az egymást követő szuperstabil kontrollparaméter-értékeknek a torlódási ponttól mért távolságai tehát a linearizált renormálási transzformáció (legnagyobb) sajátértékével adott arányban állnak egymással. Más szóval a $\delta$ Feigenbaum-állandó a fixpont-függvénye körül linearizált renormálási transzformáció legnagyobb sajátértéke. Bár a levezetést speciális esetre végeztük el, az állítás sokkal általánosabban is érvényes.