A kvantummechanikai mérés problémája, avagy miért nem látjuk soha a szuperpozíciót?

A kvantumos és klasszikus tartomány közötti határvonalat tetszőlegesen eltolhatjuk a klasszikus tartomány irányába. Megtehetjük, hogy valamilyen mérés elméleti tárgyalásakor a határvonalat úgy húzzuk meg, hogy maga a mérőeszköz is a kvantumos tartomány részévé váljék. Ekkor a mérés folyamatára alkalmazható lesz a Schrödinger-egyenlet. Azt várnánk, hogy az így kapott eredmények gyakorlatilag azonosak lesznek a mérési axiómák alkalmazásával kapottakkal. Meglepő módon ez nem igaz. Ennek az oka a kvantummechanika egy általános elve, a szuperpozíció-elv. A szuperpozíció-elv kimondja, hogy ha $\vert\psi_1>$ és $\vert\psi_2>$ egy rendszer lehetséges (azaz fizikailag megvalósítható) állapotai, akkor ezek tetszőleges szuperpozíciója, azaz tetszőleges $a$ és $b$ komplex számokkal képzett $a\vert\psi_1>+b\vert\psi_2>$ lineárkombinációja is az. Ha ez egy adott pillanatban érvényes, akkor (zárt rendszert feltételezve) bármely későbbi pillanatban is érvényben marad. A Schrödinger-egyenlet linearitása következtében ugyanis ha $\vert\psi_1(t)>$ és $\vert\psi_2(t)>$ megoldásai az (1) egyenletnek, akkor $a\vert\psi_1(t)>+b\vert\psi_2(t)>$ is megoldása.

Alkalmazzuk ezt most egy egyszerű mérésre. Tegyük fel, hogy olyan mennyiséget mérünk, melynek csak két lehetséges értéke van, mondjuk, +1 és -1. Jelöljük a megfelelő sajátállapotokat $\vert+>$-szal ill. $\vert->$-szal. Ha a vizsgált rendszer kezdetben a $\vert+>$ állapotban van, akkor a mérés végeredménye csak +1 lehet. Ha tehát a mérőeszközzel való kölcsönhatás kvantummechanikai leírása a mérési axiómákkal összhangban van, akkor a

$$\vert+>\otimes \vert m_0>$$ (5)

kezdőállapotból a Schrödinger-egyenlet megoldásával a

$$\vert+>\otimes \vert m_+>$$ (6)

végállapotot kapjuk.¹³ Hasonlóan, ha

$$\vert->\otimes \vert m_0>$$ (7)

a kezdőállapot, akkor a Schrödinger-egyenlet megoldásával a

$$\vert->\otimes \vert m_->$$ (8)

végállapotot kapjuk. Ezekben a kifejezésekben $\vert m_0>$ a mérőműszer kezdeti, készenléti állapota, $\vert m_+>$ ill. $\vert m_->$ pedig az az állapota, amikor a +1 ill. -1 eredményt mutatja. Ha a vizsgált rendszer kezdőállapota kezdetben $a\vert+>+b\vert->$ (a szuperpozíció elve értelmében ez lehetséges), akkor a teljes rendszer (amely a mérőeszközt is tartalmazza) kezdőállapota

$$(a\vert+>+b\vert->)\otimes \vert m_0>=a\vert+>\otimes \vert m_0>+b\vert->\otimes \vert m_0>\;.$$ (9)

Látható, hogy ez a (5) és (7) állapotok szuperpozíciója. Amint fent láttuk, ebből a Schrödinger-egyenlet linearitása alapján következik, hogy a végállapot a (6) és (8) állapotok szuperpozíciója lesz, azaz

$$a\vert+>\otimes \vert m_+>+b\vert->\otimes \vert m_->\;.$$ (10)

Tehát nem a mérés egyik vagy másik kimenetelét kapjuk, hanem egyszerre mindkettőt. Maga a mérőeszköz ilyenkor nem rendelkezik önálló hullámfüggvénnyel, tehát sűrűségmátrixszal kell leírnunk. Azt kapjuk, hogy

$$\hat \rho^M=\vert m_+>\vert a\vert^2<m_+\vert+\vert m_->\vert b\vert^2<m_-\vert\;$$ (11)

ami ismét csak tartalmazza a mérés mindkét lehetséges kimenetelét. ¹⁴

Mivel a leírás a kvantummechanikai állapotokkal történik, ezeket tekintenénk a valóság elméleti megfelelőjének. Mint látjuk, ilyen megfeleltetés a mérés esetében közvetlenül nem lehetséges. Ezt a paradox eredményt fejezte ki drámai formában Schrödinger híres macska-paradoxonjában[13]. Ekkor a kísérlet egy zárt dobozban zajlik, melyben egy eleven macska is tartózkodik. A mérőeszköz az egyik mérési eredmény (mondjuk, a -1) esetében működésbe léptet egy szerkezetet, amely ciángázzal megöli a macskát. A kérdés az, hogy szuperponált kezdőállapot esetében a kísérlet végén él-e a macska. A kvantummechanikai leírás ugyanaz, mint fent, csak most az $\vert m_+>$ és $\vert m_->$ állapotok a mérőeszközön kívül a gyilkos szerkezetet és a macskát is leírják. Az $\vert m_+>$ állapot élő, az $\vert m_->$ állapot döglött macskának felel meg. A rendszer végállapota azonban mindkét alternatívát tartalmazza, ami közvetlenül nem értelmezhető.

Mivel a paradox eredményre a szuperpozíció elvének egy makroszkopikus rendszerre való alkalmazásával jutottunk, kézenfekvő lenne azt mondani erre, hogy a szuperpozíció-elv ezek szerint nem érvényes a makroszkopikus testekre. De ha így van, akkor persze folyamatosan kell ``elromlania'', amint egyre nagyobb és nagyobb tömegű rendszerekre próbáljuk meg alkalmazni. A szuperpozíció elvének ezt a sérülését azonban nem sikerült megfigyelni. A legutóbbi, igen figyelemreméltó kísérleti eredmény szerint a szuperpozíció elve érvényben marad kb. egymilliárd elektront tartalmazó szupravezető áramokra (ennyi elektronnak akkora tömege van, mint egy 500 000 atomsúlyú óriásmolekulának)[14].