A lokalitás problémája, avagy miért látjuk mindig a szuperpozíciót?

Azt gondolhatnánk, hogy talán csak türelmesen tovább kell kísérletezni, és végül mégiscsak sérülni fog a szuperpozíció elve. Azonban a kvantummechanikában nem csak ez okoz nehézséget. A másik probléma abból adódik, hogy általános érvényű, alapvető fizikai elvekből (lokalitás és realizmus) a kvantummechanikának ellentmondó következményeket lehet levezetni. Ezen nem segít a szuperpozíció elv sérülése, annál is kevésbé, mivel a kvantummechanika idevágó, kísérletileg igazolt eredményei éppen a szuperpozíció-elv érvényességén alapulnak.

Mit értünk itt lokalitáson és realizmuson, és miként mondanak ellent a kvantummechanikának? A lokalitás elve a fizikai hatások véges sebességű, folytonos terjedésével kapcsolatos. A pontosabb megfogalmazáshoz tekintsünk két különböző téridőpontban végbemenő eseményt. Az egyik téridőpont $(\bm{r}_1, t_1)$, a másik $(\bm{r}_2, t_2)$. Mivel fizikai hatások nem terjedhetnek gyorsabban a $c\approx 3\times 10^8\;\frac{m}{s}$ fénysebességnél, ha a két esemény térszerűen elválasztott, azaz $\vert\bm{r}_2-\bm{r}_1\vert>c\vert t_2-t_1\vert$, akkor az események nem gyakorolhatnak egymásra semmilyen hatást.

Ebből azonban nem következik, hogy ezek az események függetlenek. Lehetséges ugyanis, hogy egy harmadik, egyiktől sem térszerűen elválasztott esemény gyakorolt mindkettőre befolyást. Valóban, ha pl. a rádióban a Kossuth-krónikát hallgatom, és ugyanekkor a szomszéd ugyanezt a műsort hallja a saját rádiójában, akkor ezt nem annak tulajdonítjuk, hogy az én rádióm volt hatással az övére, vagy az övé az enyémre, hanem annak, hogy mindkettőre az ugyanabból a központi műsorszóró adóantennából származó rádióhullám hatott. Más hullámhosszon és ``más műsorral'', de ugyanez a helyzet a Bell-egyenlőtlenség sérülését tesztelő kísérletekben (ld. alább). A realizmuson hétköznapi értelemben általában azt értjük, hogy hogy a körülöttünk levő világ a mi észleléseinktől függetlenül létezik. A jelen összefüggésben egy ennél speciálisabb követelményt szoktak realizmuson érteni, mégpedig az Einstein-Podolsky-Rosen-féle realitás-kritériumot.[15] Ez a következő: ``Ha egy rendszer bármi módon való megzavarása nélkül bizonyossággal, azaz egységnyi valószínűséggel meg tudjuk jósolni egy [hozzátartozó] fizikai mennyiség értékét, akkor létezik a fizikai valóságnak olyan eleme, amelyik ennek a fizikai mennyiségnek megfelel.''¹⁵Alkalmazzuk most ezt a két elvet egy egyszerű kísérlet elemzésekor! Tegyük fel, hogy közös fényforrásból ellentétes irányban repül ki két foton, közelítőleg ellentétes polarizációval.¹⁶ A kétfoton-rendszer kvantummechanikai állapota ismert, ami alapján az egyik foton adott irányú polarizációjának megmérésével bizonyossággal meg tudjuk jósolni a másik foton valamilyen irányú polarizációját.¹⁷

A lokalitás elvéből következik, hogy a két foton a forrásból való távozás után nem befolyásolhatja egymás állapotát. Az egyes fotonoknak megfelelő téridőpontok ugyanis (a közös forrást tekintve a térbeli origónak) $(\bm{r}_1,\vert\bm{r}_1\vert/c )$ ill. $(\bm{r}_2, \vert\bm{r}_2\vert/c)$. Mivel $\bm{r}_1$ és $\bm{r}_2$ nem azonos irányúak,

$$\vert\bm{r}_2-\bm{r}_1\vert> c\left\vert\frac{\vert\bm{r}_2\vert}{c}-\frac{\vert\bm{r}_1\vert}{c}\right\vert$$ (12)

tehát a fotonok térszerűen elválasztottak.

Látható, hogy az Einstein-Podolsky-Rosen-féle realitás-kritérium feltételei teljesülnek: az első fotonon végzett mérés a második fotont semmi módon nem zavarja meg, ugyanakkor a mérés eredménye ismeretében a második foton egy meghatározott irányú polarizációja biztonsággal megjósolható. A realitás-kritérium alapján ezért a következtetésre jutunk, hogy a második foton egy bizonyos irányú polarizációja a méréstől függetlenül, objektíven létezik. Ha az első fotonon a korábbitól eltérő irányban mérjük meg a polarizációt, akkor másik irányú polarizációt lehet megjósolni. A gondolatmenet megismétlése arra vezet, hogy a második fotonnak - méréstől függetlenül - egyidejűleg bármely irányú polarizációja határozott értékű ¹⁸. Ha a fotonnak van adott irányú polarizációja, akkor azt fogjuk mondani, hogy az adott irányú polarizáció értéke 1, egyébként a polarizáció értéke 0. Ha a második fotonon végezzük a méréseket, akkor ugyanerre a következtetésre jutunk az első fotonnal kapcsolatban.

Ezek alapján kijelenthetjük, hogy minden egyes kísérletben az egyik fotonnak $i$ polarizációja van az $\alpha$ irányban, ugyanakkor $j$ polarizációja van az $\alpha'$ irányban, míg a másik fotonnak $k$ polarizációja van a $\beta$ irányban és $l$ polarizációja van a $\beta'$ irányban. Az irányok a terjedés irányára merőleges síkban vannak megadva, az $i$, $j$, $k$, $l$ polarizációk értéke pedig 0 vagy 1 lehet.

A kísérletet sokszor ismételve valamekkora relatív gyakorisága, végtelen sok mérésre extrapolálva pedig valószínűsége lesz a fenti eseménynek. Jelöljük ezt $P(ij;kl)$-lel. Nyilván

$$\sum_{ijkl} P(ij;kl)=1\;.$$ (13)

Legyen $p_{12}(\alpha, \beta)$ annak a valószínűsége, hogy az első foton $\alpha$ irányú, a második foton pedig $\beta$ irányú polarizációval rendelkezik. $P(ij;kl)$ definíciója alapján

$$p_{12}(\alpha, \beta)=P(11;11)+P(10;11)+P(11;10)+P(10;10)\;.$$ (14)

Hasonlóan felírhatjuk, hogy

$$p_{12}(\alpha, \beta')=P(11;11)+P(10;11)+P(11;01)+P(10;01)\;,$$ (15)

$$p_{12}(\alpha', \beta)=P(11;11)+P(01;11)+P(11;10)+P(01;10)\;,$$ (16)

$$p_{12}(\alpha', \beta')=P(11;11)+P(01;11)+P(11;01)+P(01;01)\;.$$ (17)

Ha $p_1(\alpha')$ annak a valószínűsége, hogy az első foton $\alpha'$ irányú polarizációval rendelkezik, $p_2(\beta)$ pedig annak a valószínűsége, hogy a második foton $\beta$ irányú polarizációval rendelkezik, akkor

$$p_{1}(\alpha')=P(11;11)+P(01;11)+P(11;10)+P(01;10)$$

$$+P(11;01)+P(01;01)+P(11;00)+P(01;00)\;,$$ (18)

$$p_{2}(\beta)=P(11;11)+P(01;11)+P(11;10)+P(01;10)$$

$$+P(10;11)+P(00;11)+P(10;10)+P(00;10)\;.$$ (19)

A fenti egyenlőségekből azonnal következik, hogy

$$p_{12}(\alpha, \beta)-p_{12}(\alpha, \beta')+p_{12}(\alpha', \beta) +p_{12}(\alpha', \beta')-p_{1}(\alpha') -p_{2}(\beta)$$

$$=-P(11;01)-P(11;00)-P(10;11)-P(10;01)$$

$$-P(01;10)-P(01;00)-P(00;11)-P(00;10)\;.$$ (20)

Látható, hogy a jobb oldal negatív, de az (13) egyenlet értelmében -1-nél nagyobb. Ezzel a

$$-1\le p_{12}(\alpha, \beta)-p_{12}(\alpha, \beta')+p_{12}(\alpha', \beta) +p_{12}(\alpha', \beta')-p_{1}(\alpha') -p_{2}(\beta)\le 0$$ (21)

általánosított Bell-egyenlőtlenséghez, más néven Clauser-Horne-egyenlőtlenséghez jutottunk[16]. Ennek jobb oldali egyenlőtlenségét átrendezve

$$\frac{p_{12}(\alpha, \beta)-p_{12}(\alpha, \beta')+p_{12}(\alpha', \beta) +p_{12}(\alpha', \beta')}{p_{1}(\alpha') +p_{2}(\beta)}\le 1$$ (22)

adódik, amely kísérleti ellenőrzésre közvetlenül alkalmas.¹⁹A közvetlen kvantummechanikai számítás azonban arra vezet, hogy bizonyos $\alpha$, $\alpha'$, $\beta$, $\beta'$ szögek esetén a (22) egyenlőtlenség nem teljesül. A kvantummechanika tehát ellentmond annak a két elvnek (legalább egyiküknek), melyek felhasználásával az egyenlőtlenséget levezettük.

Felvetődik, hogy hátha nem is igaz, amit a kvantummechanika jósol, és akkor mind a lokalitás, mind a realizmus fenntartható. De a kísérletek a perdöntő 1982-es Aspect-kísérlet[17], [18] óta egyre pontosabban és pontosabban a kvantummechanikai eredmény helyességét bizonyítják. A mérések pontosságát kb. húszezerszeresére[19], a fotonok által befutott utat pedig 10 méterről 11 kilométerre növelték [20]. A ma rendelkezésre álló kísérleti eredmények alapján tehát arra kell következtetnünk, hogy a két elv valamelyikét kénytelenek vagyunk feladni.

Ma számos kutató ``arra szavazna'', hogy a lokalitás elve sérül. Csakhogy egyetlen olyan jelenség sem ismeretes, amely ezt közvetlenül bizonyítaná. Pl. nem lehetséges fénysebességnél gyorsabban jeleket küldeni. Ráadáasul ma minden, kísérleti bizonyítékok alapján elfogadott fundamentális fizikai elmélet, így a világot mai tudásunk szerint legpontosabban leíró standard modell is, eleget tesz a lokalitás elvének.

Mindezek után kínálkozik egy újfajta lehetőség, amit a kísérletek is erőteljesen sugallnak:

Tételezzük fel, hogy

• a kvantummechanika pontosan érvényes a makroszkopikus testekre,
• a lokalitás elve szigorúan érvényes a mikrofizikában is, és
• a realizmus szokásos fogalma módosításra szorul.

Az csak a kérdés, hogy lehet-e ilyen feltevésekkel következetes, a rendelkezésre álló kísérleti tapasztalattal összhangban lévő fizikai elméletet létrehozni. Mint alább látni fogjuk, a válasz az, hogy igen.