Egy lehetséges megoldás: relatív kvantumállapotok

Ebben a fejezetben vakmerő szellemi kalandra hívom az olvasót: megkíséreljük a kvantummechanikát úgy módosítani, hogy ne támaszkodjon többé klasszikus mankóira és fizikai tartalma is világossá váljon. Ennek során azonban alapvetően módosítani kell majd fizikai világképünket.

Térjünk vissza a 3.1 alfejezetben tárgyalt mérési problémához. Azt láttunk, hogy a kvantummechanikai leírás szerint a mérőeszköz állapota a mérés után

$$\hat \rho^M=\vert m_+>\vert a\vert^2<m_+\vert+\vert m_->\vert b\vert^2<m_-\vert\;,$$ (23)

amely a mérés mindkét lehetséges kimenetelét tartalmazza. Az előző fejezet végén tett feltevéseinknek megfelelően ezt ennek ellenére helyesnek tekintjük. A tapasztalat szerint azonban a mérés után a mérőszköz vagy az egyik, az $\vert m_+>$ állapotnak megfelelő eredményt mutatja, vagy a másikat, amely az $\vert m_->$ állapotnak felel meg. Ezek az állapotok a $\hat \rho^M$ sűrűségmátrix sajátállapotai (vagyis a $\hat \rho^M\vert\varphi>=p\vert\varphi>$ egyenlet megoldásai). További érdekes összefüggés, hogy a megfelelő sajátértékek $p=\vert a\vert^2$ ill. $p=\vert b\vert^2$, amelyek a mérési axiómák szerint a mérés lehetséges kimeneteleinek valószínűségét határozzák meg.

A szoros és érdekes kapcsolat ellenére azonban továbbra sincs egyezés a kvantummechanikai leírás és a tapasztalat között. Mivel mindkettőt érvényesnek tekintjük, meg kell tudnunk magyarázni a különbséget. A (23) egyenletet a mérőeszközből és a mért objektumból álló összetett rendszer állapotának ismeretében számítottuk ki. Ennek az összetett rendszernek az állapotát úgy kaptuk meg, hogy az objektumot az $a\vert+>\;+\;b\vert->$ állapotban preparáltuk (egy előzetes mérés segítségével), majd vártunk, hogy a kölcsönhatás az objektum és a mérőeszköz között végbemenjen. Ha ez utóbbi fázist is a preparálás részének tekintjük (amit megtehetünk, hiszen nem lehet elvi különbség kölcsönhatás és kölcsönhatás között), akkor azt mondhatjuk, hogy a mérőeszköznek a (23) állapottal való jellemzését a teljes, összetett rendszeren végzett előzetes mérés eredménye alapján kaptuk. Ugyanakkor a mérőeszköz leolvasása a mérőeszközön végzett mérésként fogható fel. Kézenfekvő tehát azt mondanunk, hogy a tapasztalat és a (23) kvantummechanikai leírás között azért van különbség, mert az adott rendszert (a mérőeszközt) a két esetben különböző rendszereken végzett mérések eredménye alapján jellemeztük. Azt találtuk tehát, hogy egy rendszer állapota függ attól, hogy a rá vonatkozó ismereteinket a rendszer szűkebb, vagy pedig tágabb környezetén²⁰elvégzett mérésből nyertük-e. Ennek a függésnek a hangsúlyozására azt a környezetet, melyen a mérés történt, kvantumos referenciarendszernek fogjuk a továbbiakban nevezni, az $R$ rendszer állapotát a $Q$ kvantumos referenciarendszerre vonatkozóan pedig $\hat \rho_Q^R$-val jelöljük.

Eddig a pontig (a szokatlan tárgyalásmód és az új terminológia ellenére) voltaképpen nem hagytuk el a kvantummechanika hagyományos kereteit. A döntő lépést akkor tesszük meg, amikor az állapotnak a kvantumos referenciarendszertől való függését nem a mérés zavaró hatásának tulajdonítjuk, hanem a kvantummechanika, sőt a Természet újonnan felismert fundamentális tulajdonságának tekintjük. A $\hat \rho_Q^R$ állapotok eszerint minden méréstől függetlenül is léteznek.²¹

Ez azt jelenti, hogy nem beszélhetünk egy rendszer állapotáról anélkül, hogy megmondanánk, mely kvantumos referenciarendszerre vonatkozik ez az állapot. Sok tekintetben analóg ez a helyzet a klasszikus fizikából jól ismert vonatkoztatási rendszerekkel. Nincs értelme egy test sebességéről beszélni anélkül, hogy megmondanánk, milyen vonatkoztatási rendszerhez viszonyított sebességről van szó. Emiatt természetes, hogy ugyanannak a testnek ugyanabban a pillanatban végtelen sok különböző sebessége van, mert ezek mindegyike különböző vonatkoztatási rendszerhez képest érvényes. A kvantummechanikai esetben is ez az észrevétel oldja fel a látszólagos ellentmondást. Ugyanaz a rendszer egyidejűleg több kvantummechanikai állapottal rendelkezik, de ezek mindegyike különböző kvantumos referenciarendszerre vonatkozóan érvényes. A közvetlen tapasztalat egy speciális referenciarendszernek felel meg (maga a mérőeszköz a referenciarendszer), ezért minden más referenciarendszerre vonatkozó leírást erre a referenciarendszerre vonatkozó leírássá kell áttranszformálnunk, ha számításainkat a tapasztalattal össze akarjuk vetni. Mint látni fogjuk, ez a transzformáció (a klasszikus fizikai helyzettől eltérően) általában nem determinisztikus, így csak valószínűségi kijelentéseket tesz lehetővé. Továbbá ez a transzformáció helyettesíti a standard kvantummechanika mérési axiómáit, ez utóbbiakra tehát külön nem lesz szükség.

A fenti speciális példa alapján nem nehéz módosított kvantummechanikánk általános szabályait felismerni. Ezek a következők:

1. Ha az $S$ leírt rendszer egybeesik a referenciarendszerrel, akkor az állapot tiszta állapot, azaz $\hat \rho_S^S=\vert\psi_S><\psi_S\vert$.
2. Ha $S$ zárt rendszer (nem áll más rendszerekkel kölcsönhatásban), akkor a $\vert\psi_S>$ állapot a Schrödinger-egyenletnek tesz eleget, azaz
   
   $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \vert\psi_S> =\hat H \vert\psi_S>\;.$$
   
   

3. Ha az $M$ rendszer maga a megfigyelő, akkor észlelései egyértelmű kapcsolatban állnak a $\hat \rho_M^M$ állapottal.
4. Ha az $S$ rendszer valódi részrendszere a $Q$ referenciarendszernek, akkor $\hat \rho_Q^S={\rm Tr}_{Q\setminus S}\hat \rho_Q^Q$.
5. Ha az $U$ referenciarendszer izolált rendszer, azaz semmilyen más rendszerrel nem állt még kölcsönhatásban (ad absurdum $U$ a teljes univerzum), akkor $\hat \rho_U^S\vert\psi_S>=p\vert\psi_S>$.
6. Ha $\vert\varphi>$ a $\hat \rho_U^S\vert\varphi>=p\vert\varphi>$ egyenlet megoldása²², akkor annak a valószínűsége, hogy $\vert\psi_S>=\vert\varphi>$, egyenlő a $p$ sajátértékkel.
7. Ha $S_1$, $S_2$, ..., $S_n$ diszjunkt rendszerek (azaz nincs közös részrendszerük), $U$ izolált referenciarendszer, melynek az $S_j$ rendszerek mindegyike részrendszere, továbbá $\vert\varphi_j>$ a $\hat \rho_U^{S_j}\vert\varphi_j>=p_j\vert\varphi_j>$ egyenlet megoldása ($j=1,2,...,n$), akkor annak a valószínűsége, hogy $\vert\psi_{S_j}>=\vert\varphi_j>$ mindegyik $j$-re, egyenlő a
   
   $${\rm Tr}_U\left(\hat \rho_U^U \vert\varphi_1><\varphi_1\vert...\vert\varphi_n><\varphi_n\vert \right)$$
   
   
   kifejezéssel.

Ezt a hét szabályt következetesen alkalmazva elvben bármely kvantummechanikai probléma ellentmondásmentesen tárgyalható. Konkrét alkalmazás esetén ismernünk kell az egyes fizikai rendszereket és a kölcsönhatásaikat (ez utóbbit a Hamilton-operátor adja meg), beleértve a mérőeszközöket is. Az alábbiakban leíró jelleggel ismertetem azokat az eredményeket, amelyekre a fenti szabályokkal végzett számítások vezettek. Maguk a számítások a [10], [11], [12] cikkekben találhatók. Elsősorban azt próbálom megvilágítani, hogy hogyan oldódnak meg ebben a sémában a korábbi nehézségek és milyen kép rajzolódik ki ezek alapján a világról.